高斯函数与不定方程

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1、竞赛中的高斯函数与不定方程一．高斯函数数学竞赛试题中常常用高斯函数的知识，具体包含：一、定义设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数。函数的定义域为，值域为二、性质的应用范围很广，很多竞赛题要应用的性质。性质1。对任意都有，为的小数部分）性质2。对任意都有性质3。对任意且；有性质4。对任意和，都有性质5。对任意的，都有性质6。，则证：因为，则性质7。在的质性质7。对任意正整数和任意实数有证：则其中与都是整数，则则所以因数分解中，质数的指数是：二．一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程通常称之

2、为二元一次不定方程。定理1：二元一次不定方程为整数有整数解的充分必要条件是定理2：二元一次不定方程为整数若且为其一组解，则其全部解为（为整数）。三．高次不定方程解高次不定方程难度大，且无定法。但对某些特别方程可通过特殊方法解。例1：解下列不定方程（1）（2）解（1）由于故该方程没有整数解。（2）该方程化为可以先解方程由观察得，所以得通解（为整数），故原方程的通解（为整数）（求可以利用找出适合然后求出的特解）例2：求不定方程的全部解。解先解及这两个二元一次不定方程的通解分别为为整数及为整数。将代入的表达式中就得原方程的通

3、解。例3.方程有多少个非负整数解（每个量都为非负整数）？分析：由题中条件知左边变量中至多有3个为1，特别是由于的系数为2可知只能取0，1两种情况，从而得到相应的解决方法。解：所以下面分两种情况考虑（1）则且取，则原方程等价于且则用隔板法知该方程的解的个数为（2），则因此中必有一个为1，其他的是0，这样的解有于是原方程组的非负解的个数为165+9=174（个）。例4：求方程的整数解解原方程可改写为左边分解因式得若原方程有整数解，则与均为整数，由上式得或解得或例5：试求方程的正整数解。解若方程有正整数解，则由于，且与有相同

4、的奇偶性，故从知原方程的正整数解必是且仅是下列方程组的正整数解故解得原方程的正整数解为或。例6：解不定方程解容易看出，若中有一个为零，则方程有整数解事实上若或，此时结论显然。现在考虑，于是，则所以或，代入方程得此时的整数解为0，即结论成立。因此若不定方程还有其它的整数解，则均不为零且原方程变形为（1）如果为奇数，则为偶数，故与中至少有一个是偶数，此时式左边是4的倍数而右边是2的倍数，故不可能是奇数。（2）如果为偶数，则为奇数，于是与均为奇数，从而同为偶数。此时可表示为，，（其中为奇数）原方程化为若或中有一个最小的，如，

5、则用除（**）式各项得则上式中一边是偶数，一边是奇数，显然无解。若中没有最小也不全相等，则必有一个最大的，如，则用除式各项得因被4除余2，而与均为4的倍数，仍然不可能。故原方程的整数解是例7．求方程的所有非负整数解解：由为偶数知，（1）若此时若则由此因此，这与矛盾若直接计算得当时，有，直接计算知不可能。所以当全部非负解仅为（1）若，，则因此，即从而为奇数，故则当时，有因此有则与上面矛盾。所以于是当时，，当时，有由此知，因此，所以，这与矛盾（因为等式右边只有2，3的因数）故此种情况的解为（2）若，此时因此，所以都为奇数，

6、从而，（事实上）所以，原方程变为（其中为奇数）由此知从而解得设于是因为又因为（两个连续的奇数是互素）所以于是，若则得则与（2）所讨论类似得出无解。若则此时得出解为综上所述，所求的非负解为例8．在正整数构成的等差数列1，3，5，中删除所有和55不互质的项后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个数列显然那么等于多少？分析：考虑正整数列1，2，3，4，中每连续的110个数中与2，5，11都互质的数的个数一样多。则求出与2，5，11不互质的数后就可求出与其互质的数的个数。解：可以看作数列1，2，3，4，中删除所有能被2，5，1

7、1整除的项后把剩下的数按小到大排列而成的数列，于是余下的数与互质。而每连续110个数中与110互质的数的个数为（个）（欧拉函数）又，而正整数列中第7个与110互质的数是19，所以例9．已知的三边长分别为a、b、c，且满足abc=(1)是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．(2)若a＞1，b＞1，c＞1，求出周长的最小值．解(1)不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2.若c≥5，这时由，可得，矛盾.故c只可能取2，3，4.当c=2时，，有又a≥b≥2，故无解.当c=3时，，即.又a≥b≥3，故或或解得

8、或或.能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3.当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5.能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4.故存在三边长均为整数的，其三边长分别为4，5，6或3，7，8.(2)由，可得，所以.又，则有，故的周长最小值为，当且仅当时，取得此最小值.例10.求解：显然有另外所以（事实上我们知道，或者）