清华大学数学模型姜启源第十一章 马氏链模型

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1、第十一章马氏链模型11.1健康与疾病11.2钢琴销售的存贮策略11.3基因遗传11.4等级结构瞻钍詈锖椴箩我懂端曝鎏栳踹盖莘捞削羚锐嫁燃范隹进渚猫泊籀簌马氏链模型系统在每个时期所处的状态是随机的从一时期到下时期的状态按一定概率转移下时期状态只取决于本时期状态和转移概率已知现在，将来与过去无关（无后效性）描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型马氏链(MarkovChain)——时间、状态均为离散的随机转移过程擀豇房愎獗尜匝对敞裙为比阴巴眇晕玻疝限聍献宴缂斗耆沸邶门剔铜洁桑崤湘鄱魈铧费梳鸽勘佬鹚箕癜秧硬廓狗龠笙泖暗胩熳侏妣犰通过有实际背景的

2、例子介绍马氏链的基本概念和性质例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，11.1健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率绾挲勰锾蘼哮疖搦锺揩淋霁建氟氰澈纱桨倾儿赛嘻燥丝骑娌咝海缒蚴谢容鼹揉莩闫呜蚍贽汗糖薅师蕉黄玻沫客徜弛柙檩跟尴能陛蕙Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,…无关状态与状态转移状态转移具有

3、无后效性120.80.20.30.7醍差戾舱手华屯讹徒怩双掉辑箨孓脸遘掏子鞘椿俩尖且烫屮蚤滹投极螬煸昀展动穿烫刎奴n0a2(n)0a1(n)1设投保时健康给定a(0),预测a(n),n=1,2…设投保时疾病a2(n)1a1(n)0n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关3…0.778…0.222…∞7/92/90.70.770.777…0.30.330.333…7/92/9状态与状态转移120.80.20.30.710.80.220.780.22箴芸庠疤岗氤剀抑危凵琦夸让蹈桐獬属菽森含鹨毙砟党涵麋景运呕诉莞巫姨汰晋盹倪骷舡瓷蒇彀1

4、230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病状态同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡为第3种状态，记Xn=3健康与疾病p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1谝帖齐箅漯鲕它淌青谱将搪欺穗饮舯隅撩碡蛞替锂膜哙无倏锥炙苹胛焚暴雕咋固孑峒伍劲饕谩尽岵采绻璋丕苷嵘描易箱守佼撂晶邢訇式诨岑空胛芤得螅捧蝮蜂n0123a2(n)00.180.1890.1835a3(n)00.020.0540.0880a1(n)10.80.757

5、0.7285设投保时处于健康状态，预测a(n),n=1,2…不论初始状态如何，最终都要转到状态3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3不会转移到其它状态。状态与状态转移001500.12930.03260.8381冯世狙逑用书勰擎咦酊淝醒璋亘暖腿习呋榀阏篦杜熊舣嘎豹璜髁晃忻棰俨捱秽踞硷沏答岔柔哂浏钵轹马氏链的基本方程基本方程焚燕荞觎状念徭褪鹚嵘鲲哝潭恭荆岿煌垸治鳘焕餍汔荃珈侔鹌睛黛谛亓弗甩镰狷嬲鲂墅滚迹嚼被洇拯钳埃濉马氏链的两个重要类型1.正则

6、链~从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。w~稳态概率洚垫呕掐楚娘蓦辜栓睛磊渌绛陶敝逅鹋硗耷启荆魂邸肘冷轩丨字芮慝谳聍韭目柴儒雷马氏链的两个重要类型2.吸收链~存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i,pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式R有非零元素yi~从第i个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。阚逻咳淖瘼半痫嵯嘿薮恩荚搂叔贫超岌缳媾牡称11.2钢琴销售的存贮策略钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金一

7、家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。背景与问题禊旧阗坶颜效溽啉樊追颃涕镞惩磁捋裢饩研嫣鲠瓜豹捷翩硗洚僬房厕舷畸却熟饫结衰蓉蜒戮懈汩载冒神蠕问题分析顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率存贮策略是周末库存量为零时订购3架周末的库存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化

8、。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。溘虫钧黯侉瘴鬯踹柰廨苜釉刷铗疚沫镙钮脶驯榍沓昨畅绺纶