[理学]离散数学答案精品文档

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1、第一章集合论基础1.设S={2，a，{3}，4}，R={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}ÎS,{a}ÎR,{a,4,{3}}ÍS,{{a},1,3,4}ÌR,R=S,{a}ÍS,{a}ÍR,fÍR,fÍ{{a}}ÍRÍE,{f}ÍS,fÎR,fÍ{{3},4}。解：{a}ÎSO，{a}ÎRP，{a，4，{3}}ÍSP，{{a}，1，3，4}ÌRO，R=SO，{a}ÍSP，{a}ÍRO，fÍRP，fÍ{{a}}ÍRÍEP，{f}ÍSO，fÎRO，fÍ{{3}，4}P2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，f}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则r(A

2、)={f，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，f}，则r(B)={f，{1}，{f}，{1，f}}；设C={X，Y，Z}，则r(C)={f，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)AÍB当且仅当r(A)Ír(B)；(2)r(A)Èr(B)Ír(AÈB)；(3)r(A)Çr(B)=r(AÇB)；(4)r(A-B)Í(r(A)-r(B))È{f}。举例说明：r(A)∪r(B)≠r(A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取xÎr(A)，则xÍA。由于AÍB，故xÍB，从而xÎr(B)，于是r(A)Ír(B)。充分性，任

3、取xÎA，知{x}ÍA，于是有{x}Îr(A)。由于r(A)Ír(B)，故{x}Îr(B)，由此知xÎB，也就是AÍB。（2）证明：任取XÎr(A)∪r(B)，则XÎr(A)或XÎr(B)∴XÍA或XÍB∴XÍ(A∪B)∴XÎr(A∪B)所以r(A)∪r(B)Ír(A∪B)（3）证明：先证r(A)∩r(B)Ír(A∩B)任取XÎr(A)∩r(B)，则XÎr(A)且XÎr(B)∴XÍA且XÍB∴XÍA∩B∴XÎr(A∩B)所以r(A)∩r(B)Ír(A∩B)再证r(A∩B)Ír(A)∩r(B)任取YÎr(A∩B)，则YÍA∩B∴YÍA且YÍB∴YÎr(A)且YÎr(B)∴YÎr(A)∩r(B)所

4、以r(A∩B)Ír(A)∩r(B)故r(A)∩r(B)=r(A∩B)得证。举例：A={1}，B={a}则r(A)={f，{1}}，r(B)={f，{a}}r(A)∪r(B)={f，{1}，{a}}A∪B={1，a}r(A∪B)={f，{1}，{a}，{1，a}}可见{1，a}Îr(A∪B)，{1，a}Ïr(A)∪r(B)所以r(A)∪r(B)≠r(A∪B)(4)对任意的集合x，若x=f，则xÎr(A-B)且xÎ(r(A)-r(B))∪{f}。若x¹f，则xÎr(A-B)当且仅当xÍ(A-B)当且仅当xÍAÙx⊈B当且仅当xÎr(A)ÙxÏr(B)当且仅当xÎ(r(A)-r(B))。综上所述，可

5、知r(A-B)Í(r(A)-r(B))È{f}。4.设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。（1）若AÎB且BÍC，则AÎC；（2）若AÎB且BÍC，则AÍC；（3）若AÍB且BÎC，则AÎC；（4）若AÍB且BÎC，则AÍC。解：（1）正确；（2）不正确，举一个反例即可；（3）不正确，举一个反例即可；（4）不正确，举一个反例即可。5.对24名科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计资料如下：会英、日、德、法语的人数分别是13，5，10和9。其中同时会英语、日语的人数为2。同时会说英语、德语或同时会说英语、法语，或同时会说德语、法语两种语言的人数均为4。会说日语的人既不会说法语

6、也不会说德语。试求只会说一种语言的人数各为多少？同时会说英、德、法语的人数为多少？解：设A，B，C，D分别代表会说英、日、德、法语人的集合。由已知条件知：

7、A

8、=13，

9、B

10、=5，

11、C

12、=10，

13、D

14、=9，

15、AÇB

16、=2，而

17、AÇC

18、=

19、AÇD

20、=

21、CÇD

22、=4，

23、BÇC

24、=

25、BÇD

26、=

27、AÇBÇC

28、=

29、AÇBÇD

30、=

31、BÇCÇD

32、=

33、AÇBÇCÇD

34、=0，

35、AÈBÈCÈD

36、=24。对集合A，B，C，D应用容斥原理，并代如入已知条件得方程24=37-14+

37、AÇCÇD

38、于是

39、AÇCÇD

40、=1，这说明同时会说英、德、法语的人只有1人。设只会说英、日、德、法语的人数分别是x1，x2，x3，x4，则

41、x1=

42、A

43、-

44、（BÈCÈD）ÇA

45、=

46、A

47、-

48、（BÇA）È(CÇA)È(AÇD)

49、对BÇA，CÇA，AÇD应用容斥原理，得x1=4。同理可求出：x2=3，x3=3，x4=2。6.设A，B是两个集合，问在什么条件下有A´BÍA成立？等号能成立吗？解：当A或B为空集时能够成立；当A为空集时等号能够成立。2.设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1，2