第十三章勒让德多项式 球函数

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1、第十三章勒让德多项式球函数（13）一、内容摘要1．幂级数解法：就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数。不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程的级数解：如果函数和在点的领域中解析，则称为方程的常点，如果是函数或的奇点，则称为方程的奇点。定理:如果函数和在点的邻域中解析,则常微分方程在圆内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为Taylor级数形式：。2．勒让德方程的级数解:（1）时的连带Legendre方程称为Legendre方程由幂级数解法可得的系数的递推公式：这样阶Legendre

2、方程的级数解是：可以判断阶Legendre方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在处发散。由递推公式易知，当时，和必定有一个成为次多项式。这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。Legendre方程和解在有界要求分离变过量过程中引入的常数为零或正整数。通常把解在有界说成是Legendre方程的自然边界条件。这样，Legendre方程和自然边界条件构成本征值问题。本征值是，本征函数是阶Legendre多项式。（2）球函数方程，对球函数进一步分离变量，并考虑到自然边界条件的要求，得到如下分离变量形式的球函数：．其中关于部分的函数是连带Legendre方程的解。取，这时球函数只和有关，

3、是一个轴对称的函数；同时满足的方程变为Legendre方程：．我们把阶Legendre多项式记作:。它既是阶Legendre方程的解,也是时的球函数。阶Legendre多项式中系数之间的递推公式为:。我们可得阶Legendre多项式如下：．其中表示不超过的最大整数。（3）Legendre多项式的微分与积分表示：①分数形式：这一关系又称作Rodrigues公式②积分形式：这一积分被称为Schlāfli积分。（4）Legendre多项式的生成函数—母函数．令,则上式表明:Legendre多项式正是把关于函数在附近展开为泰勒级数的展开系数；类似地，如果把关于的函数以Legendre多项式为基展开，

4、则展开系数就是相应的的幂函数。因此我们把这个函数叫做Legendre多项式的母函数或生成函数。（5）递推公式：．．（6）Legendre多项式的正交关系可以证明不同阶的Legendre多项式相互正交：．其中称作函数的模,定义为:．模的倒数称为归一化因子。（6）函数用Legendre多项式展开展开定理:设函数在区间上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数,则可以在该区间上展开成绝对且一致收敛的级数:．其中．3．连带Legendre函数（1）连带Legendre方程为：．作变换：，代入方程并整理可得：．可以证明，上述方程可以由Legendre方程逐项求导次得到.Legendre方程的解为：称为连带

5、Legendre函数。（2）连带Legendre函数的微分与积分表示①微分形式：②积分形式：（3）连带Legendre函数的模与正交关系正交性：；模：．二、习题1．填空题（1）____________；_____________(写成递推形式)．()．2．求下列积分。（1），其中．（2）．（3）．3．将下列式子按勒让德多项式展开。（1）．（2）．（3），．4．（1）将函数在区间上用Legendre多项式展开成广义Fourier级数。（2）将在区间展成广义Fourier级数。5．证明．6．设有一球心在原点半径为的球形导热体，内部无热源，球面温度为，求经过充分长时间后导体内的温度分布。7．求下列

6、方程的幂级数解：（1）．（2）．三、参考答案1．填空题（1）．（2）．2．解：（1）注意到被积函数中三个勒让德多项式次数的关系，我们只需将被积函数看成是次多多项式与次勒让德多项式的乘积，考虑到，因此：．其中．为的最高次幂的系数，在计算上面的积分时还用到．综合以上结果，即得：．（2）由被积函数的奇偶性可以判断，当为奇数时积分一定为0，故下面只需要讨论为偶数的情形。再因为和的任意性，不妨假定，因此，因为是次多项式，次数低于，因此积分。在代入勒让德多项式的特殊值，同时在勒让德方程中令又可以得到，并注意到为偶数，因此最后就得到：，=偶数，且。（3）由Rodrigues公式得，由得：．对积分作变量代换

7、得．3．解：（1）因为，可以根据勒让德方程计算出次积分：但当时需要另行计算，，综合以上结果，并考虑到，即得：（2）通过作变换，也可以推得：．所以：．（3）根据定理可得，其中．对积分作变量代换，并利用的奇偶性得．而当为偶数时有（1）上面积分总是可以求出的，譬如当时，．故有从而有展开式．其中系数由（1）给出。4．解：（1）的广义Fourier展式为且展开系数可以计算如下：．根据Legendre多项式的正交性质，易