定量分析方法(6)(定量分析方法-清华大学 韩延春)

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1、第六章概率论基础本章“概率论基础”和下一章“常用概率分布”是推断统计学的基础。在经济与管理中，需要分析总体数据的变化规律（数字特征、分布规律等），通常从总体中抽取一个样本，根据样本所具有的信息来推断总体。如：从一批产品中抽取100件产品，发现有2件次品，此时样本的次品率为2％。那么，一方面，估计这批产品的次品率大约为2％；另一方面，由于抽样的随机性，又不能断定这批产品的次品率一定为2％。实际中，经常会遇到各种随机现象，即人们不可能预先确定其结果的现象，但随机现象却隐含着一定的规律性。如：掷一枚硬币，不可能预知“正面”向上还是

2、“反面”向上，但当掷很多次时，我们可以预知，“正面”向上的次数占总次数的大约1/2。这便是随机现象的规律性，即概率。只有把握住随机现象的规律性，才能很好地由样本来推断总体，为管理决策提供科学依据。概率论即是从数量上研究随机现象规律性的一门科学。一、随机事件简单地讲，随机事件是在一次观察中可能出现也可能不出现的事件。如：从一批产品抽取一件产品，可能是正品，也可能是次品。1、随机试验对随机现象的考察称为随机试验，须满足如下条件：1)试验可以在相同的条件下重复进行；2)试验的所有可能结果不止一个，每次试验只出现一种结果（如：掷硬币

3、，产品检验，掷骰子等）；3)在每一次试验之前，不能肯定会出现什么结果。随机试验与物理实验的区别是，随机试验“在同样条件下可能得到不同的结果”，这是社会经济现象的突出特点。2、随机事件基本事件（样本点）：随机试验每一个可能的结果，用表示；基本事件集（样本空间）：基本事件的全体所构成的集合，用表示；随机事件：中的任何一个子集，用表示；必然事件：；不可能事件：（为的特殊子集）。13例：随机试验：10件产品中有2件次品，现从中任取4件。事件：假定试验结果为，3、随机事件的关系与运算符号集合论概率论图示空间必然事件空集不可能事件元素基

4、本事件事件事件发生必然导致事件发生AB集合与相等事件与等价ABAB集合的余集A集合与之差ABBA13在上述基本关系的基础上，可以导出一些更加复杂的关系和运算。注：集合论中有关集合的运算性质（如：交换律、结合律、分配律、对偶原则等），全部适用于事件运算。二、概率及其性质研究随机现象的变化规律性，即要研究某些事件发生可能性的大小，这便是概率。概率：随机事件发生可能性大小的度量，用表示。1、公理化性质①（非负性）②（规范性）③若是互不相容的随机事件，则：（可加性）2、概率性质④⑤若构成完备事件组（即：互不相容；且），则有：（由即可

5、得）⑥（由即可得）⑦若，则：（由即可得）⑧若，则：⑨（由即可得）当13三、几种常见的概率模型1、古典概率模型若中的基本事件的个数为有限个，且每一个基本事件发生的可能性相等。则：例1.从54张纸牌中抽取1张，问是红桃的概率？解：例2.有一批产品共100件，其中5件次品，从中任取50件，求其中包含一件以上次品的概率？解：①②2、统计概率模型（经验概率，Objective）设为一事件，在次重复试验中，若事件发生了次，则事件发生的频率为：（随试验次数而变化）事件发生的概率为：例：历史上曾有几位学者作掷硬币的试验，发现当试验次数很大时

6、，正面出现的频率接近于。次数正面频率Morgan204810610.518Buffon400020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.500513因此，。3、主观概率（Subjective）个人根据自己的经验判断，对某一事件指定一概率。如，一个球队胜负的概率，每个人给出的概率不一样。四、条件概率及事件的独立性1、条件概率如果一个事件发生的概率与另一个事件是否发生有联系，则称和是相关联的。在事件与相关联的情况下，讨论在已知事件已经发生的条件下发生的概率，称为条件概率

7、，用表示。条件概率：即：事件已经发生的情况下，事件同时发生的概率。乘法公式：例：有100件产品，其中10件次品，从中任取一件不放回，问：①已知第一次取到次品，第二次取到正品的概率？②第一次取到次品而第二次取到正品的概率？解：①②2、事件的独立性两个事件和，其中一个事件发生与否对另一事件发生的概率不产生任何影响，则与相互独立。此时：注1.如果与独立，则与，与，与亦相互独立。注2.事件相互独立的充分必要条件是：13()如：前例中，若第一次抽取产品后放回，求第一次抽取次品第二次抽取正品的概率。注3．互不相容（MutuallyExc

8、lusive）与独立性（Independent）是有区别的，两个非零概率的事件不可能同时互不相容又相互独立。由知，两个互不相容的事件一定相关联。五、全概率公式与Bayes公式全概率公式与Bayes公式是利用“先验概率”与“已知信息”来求“事后概率”。设构成完备事件组，则：（全概率公式）（B