单自由度振动系统

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1、单自由度振动系统m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或q（角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。根据牛顿定律：mx+cx+kx=F1.单自由度系统无阻尼自由振动mx+kx=0；x+kmx=0；令wm2=k/m，求微分方程的解，得x=c1eiwnt+c2e-iwnt=c1+c2coswnt+ic1-c2sinwnt=b1coswnt+b2sinwnt将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0x=A

2、sin(wnt+φ);A=x2+x02wn2;φ=tg-1x0wnx01.1固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。wn=km；fn=12πkm1.2固有频率计算方法1）公式法。根据公式wn=km计算2）静变形法。根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。3）能量法。根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能

3、，计算求出。4）瑞利法。考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为wn=km+ρl3，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据Ts=12msx2，计算即可。1.3扭转振动根据扭转运动的牛顿定律M=Iθ，M为施加到转动物体上的力矩，I转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。圆盘转动惯量为I，轴的转动刚度为kq。系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与q方向相反的弹性恢复力矩-Kqq。得到Iθ+kθ=0；wn2

4、=kθIθ=Asin（wnt+φ）；A=θ02+θ02wn2；φ=tg-1θ0wnθ02.单自由度有阻尼系统始终与物体振动方向相反，对系统做负功，不断消耗系统能量的阻力，统称为阻尼，单位为N。2.1分类：1）干摩擦阻尼两个干燥表面相互压紧并做相对运动，阻力的大小取决于摩擦副的材料和法相压力F=mN2）粘滞阻尼物体以中等速度在流体中运动时所产生的阻尼（有润滑油的润画面之间），与速度的一次方成正比，即：Fs=cx，其中阻尼系数取决于物体的形状、尺寸及润滑剂介质的粘性，单位为Ns/cm。当以较大速度运动时（3m/s以上），阻力与速度平方成正比3）结

5、构阻尼材料在变形过程中由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，大小取决于材料性质。2.2固有频率mx+cx+kx=0，取wn2=km，α=c2m，得到方程的解为x=e-αt（c1eα2-wn2t+c2e-α2-wn2t）2.2.1强阻尼状态，a>wn系统不再是振动，是逐渐回复到平衡位置的非周期运动2.2.2临界阻尼状态，a=wn也不是振动，是逐渐回到平衡位置的非周期运动。2.2.3弱阻尼状态，a

6、与固有频率相同时，振幅最大，称为共振。2.3.1产生共振的原因以简谐激振力为例，设F=P0sinwt，q=P0/m得x+2αx+wn2=qsinwt解方程得x=Ae-αtsinwdt+φ+Bsin(wt-ψ)由于第一项很快将衰减掉，故只研究第二项，并将其求导代入原式，经过化简整理，我们得出必须满足下列两个式子：B(wn2-w2)-qcosψ=02αBw-qsinψ=0将两式子联立，令B0=P0/k称为静变位；l=w/wn称为频率比；z=a/wn称为阻尼比，代入B=B0（1-l2）2+（2zl）2以B/B0为纵坐标，以w/wn为横坐标，以阻尼比

7、z为参变量，做幅频响应曲线，从图中可以看出l《1时，激励频率远小于固有频率时，振幅近似等于在激励力幅值F0作用下的的静变形F0/k，振幅主要由弹簧刚度控制；当随着w增大，B也增大，当w等于wn时，b最大，称为共振。共振时，振幅的大小主要取决于系统阻尼系数的大小，阻尼越小，共振振幅越大。但当w继续增大后，当l》1时，振幅的大小主要取决于系统惯性。2.3.2阻尼对共振振幅的影响阻尼仅在共振区对振幅有较大影响，阻尼增大，共振振幅减小。但在共振区域外对振幅影响较小。2.3.3支撑运动引起的强迫振动中得共振运动微分方程为：mx=-kx-xi-c(x-x

8、i)同理，解方程得x=Bsin(wt-ψ);B-iψ=α(k+icw)k-mw2+icw=α1+(2ζl)2(1-l2)2+(2ζl)2同理以B/a作为纵坐标，l作