微分方程解的存在唯一性

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1、本科毕业论文论文题目：微分方程解的存在唯一性学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院1年月日目录一、引言……………………………………………………………2二、关于创新的思考………………………………………………（一）秩序问题的创新………………………………………………三、社会哲学的主题………………………………………………………参考文献………………………………………………………………微分方程解的存在唯一性摘要：微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文将介绍一阶常微分方程初值问题求解的基本定

2、理：解的存在性、唯一性，解对初值的依赖性。微分方程解的存在唯一性定理是微分方程基本定理中最重要的内容之一。关键词：微分方程解的存在唯一性初值。引言：我们知道，微分方程机的问题在于求解和研究解的各种属性。早在微分方程发展的古典时期，由于力学、物理学、几何学等的需要，数学家曾把注意力主要集中在求微分方程的通解上，并取得了一系列重大的发展，但后来发现，绝大多数的微分方程都求不出通解，特别在1841年Liouvill(柳维尔)证明了这样一个事实，即Riccati（里卡蒂）方程除了某些特殊情形外，对一般的函数P、Q、R而言，其通解不

3、可能用初等函数或初等函数的积分予以表示。当然，对一般的非线性方程将更是如此。另一方面，在物理和力学上提出的微分方程问题，又大都是要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解。这样，就是人们改变了原来的想法，不去求通解，而开始从事定解问题的研究。到了十九世纪初叶，数学分析中所产，生的划时代的飞跃，即极限、连续等严格概念和方法的建立，推动了微分方程基本理论的发展。Cauchy（柯西）首先严格证明了，在相当一般的情况下解的存在唯一性定理，为微分方程的研究奠定了坚实的基础。后来有许多数学家又做了大量的工作，逐步形成了常微分方程的

4、一般理论。这一理论无论对于求解或对于研究解的各种属性都是最基本的。我们在一般常微分的课程里，曾经学过常微分方程的一般理论的初等部分，本文将通从深度和广度两个方面，对这一理论作进一步的探讨。在以下的讨论中，我们着重研究的是一阶标准型方程组其中f是关于t，x，x，……，x的已知函数。如令：x=（x,……，x，f（t，x）=（，…，，=，则方程组（E）可改写成如下的向量形式=f（t，x），其中tR，x，fR（n维是欧式空间）。至于一般的高阶方程组或方程，在一定条件下均可化成形如（E）的等价方程。1.1解的存在唯一性定理对于方程：

5、（1）这里f（t，x）区域R={（t，x）∣∣t-τ∣≤a，∣y-ξ∣≤b}上连续，且关于x满足李普希茨（Lipschitz）条件,即存在常数L>0（称作李普希茨常数），使得不等式∣f（t，x）-f（t，）∣≤L∣x-∣.对所有的（t，x），（t，）∈R则初始问题：（2）在区间:∣t-τ∣≤h上满足存在唯一的连续解y=φ（t），其中h={a，}，M=.1.2解的延拓定理定理如果方程（1）右端的函数f（t，x）在有界区域G中连续，且在G内关于y满足局部李普希茨条件（即对于G内每一点，有以其为中心的完全含于G内的闭矩形R存在，

6、且在R上f（t，x）关于y满足Lipschitz条件），那么方程（1）通过G内任何一点边界的解y=φ（t）可以延拓，直到点（t，φ（t））任意接近区域G。可以向t增大的一方延拓来说，如果y=φ（t）只能延拓到区间≤x

7、=φ（t）无界，或者点（t，φ（t））趋于区间G的边界。1.3关于解的存在唯一性定理的几点说明（1）微分方程来源于实际问题，求解微分方程的目的就是为了得到某一变化过程中变量间的变化规律。当一个实际问题所满足的微分方程模型建立后，我们所关心的是该微分方程是否有解？有多少个解？例如=2x有无限多个解：y=+C.如果再加上初始条件y（）=y就有唯一解：y=x+y-x.（2）必须指出，解的存在唯一性定理中，f（t，x）的连续性条件只能保证微分方程的解存在，并不能保证其唯一。如：.对任意的x，y值而言，都是连续的，但是方程的解不一定

8、是唯一的。（1）存在唯一性定理是充分的，但不是必要的。如果把存在唯一性条件改成：在区域R上偏导数存在，而且其模是有界的，即∣f∣≤L，显然这只是充分条件而不是必要的。换句话说，满足∣f∣≤L时一定满足Lipschitz条件，但满足Lipschitz条件不一定满足∣f∣≤L，那么利用中值定理：∣F（t，x