高等数学-极限与连续公式概念

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1、极限与连续๑▪数列有界的充要条件是数列既有上界又有下界.▪数列极限存在与否、极限是什么，与数列前面的有限项无关，只与后面的无穷多项有关.若改变数列有限项，不影响数列的极限.▪数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一.若limn→∞xn=a，则limn→∞xn+1=a2)有界性：收敛数列必有界.（数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3)保号性：若limn→∞xn=a，limn→∞yn=b，且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有xn>yn.若limn→∞xn=a，且a>b(或a

2、存在正整数N，当n>N时，有xn>b(或xn0(或a<0)，则存在正整数N，当n>N时，有xn>0(或xn<0)▪函数极限limx→x0f(x)=A的充要条件是limx→x0-f(x)=limx→x0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即limx→x0fx存在⇌limx→x0-fx=limx→x0+fx▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时有极限，则其极限惟一.2)局部有界性3)局部保号性▪极限运算法则：

3、设limf(x)=A,limg(x)=B,则1)lim[f(x)±g(x)]=A±B2)lim[f(x)g(x)]=AB3)当B≠0时，limf(x)g(x)=AB4)lim[cf(x)]=climf(x)(c为常数)5）lim[f(x)]k=[limf(x)]k(k为常数)▪当a0≠0,b0≠0时，有limx→∞a0xm+a1xm-1+…+amb0xm+b1xm-1+…+bm=a0b0当n=m时0当n>m时∞当n

4、3个数列{xn}{yn}{zn},满足条件：1）yn≤xn≤zn（n=1,2,…）；2）limn→∞yn=limn→∞zn=a，则数列{xn}收敛，且limn→∞xn=aforthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationor

5、examinationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans▪函数的夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x0的某去心邻域内有定义，且满足条件：1）g(x)≤f(x)≤h(x);2)limx→x0g(x)=A,limx→x0hx=A.则极限limx→x0fx存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1▪重要极限Ⅱ：lim

6、x→∞(1+1x)x=e,limx→0(1+x)1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小.2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.3)常量与无穷小的乘积为无穷小.4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+α(x).其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x)，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小.1.若limβα=c(c≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小.2.若

7、limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α.3.若limβα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α)4.若limβαk=c(c≠0,k是正整数),则称β与α是k阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β-α=oα或β=α+o(α)6.α,β,α',β',都是自变量同一变化过程中的无穷小,且α~α',β~β',limβ'α'存在，则有limβα=limβ'α'▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能]x→0时，x~sinx~tanx~arc

8、sinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1;1-cosx~x22；(1+x)a-1~ax(a≠0);ax-1~xlna(a>0,a≠1);n1+x-1~xn▪无穷大：函数无穷大⇀↚无界x⟶x0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x)≠0,则1f(x)为无穷大.[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪连续：forthequalityofreviewsa