利用函数与方程思想巧解不等式问题

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1、利用函数与方程思想巧解不等式问题岳儒芳石家庄市第十九中学高中数学4不等式是研究数量关系的有力工具，在数学的各个分支中，凡涉及数量关系的地方，无一不与不等式知识发生着联系．对某些不等式问题，通过观察其结构上的特点，利用函数与方程思想可使问题获得巧妙解决．所谓方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础．所谓函数思想，就是用运动、变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使

2、问题获得解决．函数思想还不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题．构建函数关系式，使用函数的方法来研究非函数问题应该是函数思想的核心．因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路．函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系．函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．不等式、函数与方程的关系十分密切，因为有些不等式的一边就是函数的解析式，所以我们往往把不等式、方程问题转化为函数问题，这样就可利

3、用函数的图象、性质来处理不等式的有关问题．一、证明不等式构造函数，利用函数的单调性来证明不等式．例1、已知，则与满足（）（A）（B）（C）（D）分析：原不等式变形为，根据不等式左右结构上的特点可构造函数在上是增函数，由已知有即．故选A．例2、已知的三边长是且为正数，求证：（课本P18）证明：设则函数为增函数，在中，有即又两式相加得，．例3、求证：（课本P24）证明：设则，则函数为增函数，又，有，即．二、解不等式把不等式的两边分别构造函数，并分别画出它们所对应函数的图象，然后根据不等式解集的意义，由不等式两端对应的函数的图象的高低及交点情况，确定未知数的取

4、值范围．例4、使成立的的取值范围是________．图1分析：可令,4,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1所示）．通过观察可得的取值范围是．例5、（2006年江西卷）若，则不等式等价于（）（A）或（B）（C）或（D）或分析：（法1）图2．故选D．（法2）可令,,在同一坐标系中作出这三个函数的图象（如图2所示）．通过观察可得的取值范围是．故选D．说明：通过两种方法的对比，可以看出利用函数图象的形象性与直观性在解决某些不等式问题时，非常简单．一、解不等式恒成立问题通过构造函数，利用函数的最值来解题．例6、若不等式对满足的所有都成立,求的取值范围．分析

5、：原不等式化为，设，根据题意有即解得的取值范围为．例7、（2006．江西文理）若不等式对一切成立，则的最小值为（）（A）（B）（C）（D）分析：由于，得在上单调递减，在处取得最小值．．故选C．二、不等式的应用——求参数的取值范围对于方程根的分布问题，可通过变形，把方程两边分别构造函数，并画出它们所对应函数的图象，然后根据题意，由方程两端对应函数图象交点的个数来确定参数的取值范围．例8、已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是__________．分析：方程变形为，在同一坐标系内分别作出函数与4图3的图象（如图3所示），由图可知．此题还可改为：例9、已知方

6、程在区间上有一解，两解，无解，求实数的取值范围．分析：则由图可知的取值范围分别是：当或时，方程有一解；当时，方程有两解；当或时，方程无解．在处理有关用函数与方程思想解不等式问题时，应注意：1、要熟练掌握基本初等函数的图象与性质．这是应用函数思想的基础．2、在解答非函数问题时，要注意对问题中的各元素仔细地观察和分析，产生由此及彼的思想，构造出相关的函数模型，从而使问题获得巧妙解决．3、在许多问题中，一般都含有多元参变量，根据题目需要，变换“主元”往往能出奇制胜，但不要脱离题目本身的条件．４、要注意函数方程思想与其他思想融合使用，会显示出其强大威力．4