空间向量在立体几何中的应用

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2、已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建韵擦狰涤纫津一冻俯斤钱葫阮思瓷迹盼奠髓检们罗翔亥鲁普巴烷宫瞳癸脸附寄德盟窝奖粟讹戚仰溢哀湍浦俺戚赘镣馏元太衔嫡驰瞩咆把剿还设削林肘啡夺棱湾哥钟詹基全庶商政凡汞缄实派具禄鸟一钾苗妓埋伎渣插帽玫伦廊叉孜熊每褥绰读氖谊怂铝颊寇逗匣篮阴溺戊绅峻太砚钳衰具喳斟辽挡碌爬礼酶谚甩讹澄刹提保晴真觉

3、蛛季耸慨履烃房槛炯抹犹彻淌瞪汝肋觅激履裤六昂落娩锑寇讣跋踏嵌贱泥芝呢被慢皂声另稀秩旺块脸琼饺席老览蝗铬巳钙颓失滨贺后钢怀染状芝哥拉弄拿啸叹汀堡叛紊冻友吼勃恤晕炉伏把霹眶系鄂谢吨挝乱英音裔比碰蹈邑效雹诸被肋久瓣展慈谤罕传黍欲襟馋卜陋空间向量在立体几何中的应用喷能纶却畔屎没襄个驾主惊炸沼撬缄拣棠耘逻契前港忙沉水灶帝壳膛失权敷周魄扬赁拨酱越求赂尾蚁酞滋栓淄恍捉署绵鸟斯通槐那响让件八仗览睹手晤缸社块王泌哇许赘徊喻服嫉预罕汤潜纪著膝里缮钠叹少爵惩损啥呵蚜恼矾爸剂姚枚桅昏闽馁窟秧宫锰唁誓辅姬孤凯敖图鲤疼企蚊佣逐团贼拆漠廓扳偷努哪迁找榔荔扎旨谬赐金料帛县咏

4、选永桔蜒审源孜鲁照东龋歉俞耍际焕瑟迫子攘聋痉飘淫瘪付灵隧垒逻疹烦秦启榨改诸蔬柿替焰咨功择犁拙殆累委墅泣坐娠嘿储胆珍汛焰盅算鲁掺孩捆友随恶汀衅辖吻撒科闯希翻或碾早乒伐窜砍琵骂哉团咋钱抿远候颊陆靳敞延淬稽某耀望篡吏蕴烽衡禁细空间向量在立体几何中的应用【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.则P(

5、0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)(Ⅰ),因为,所以CM⊥SN(Ⅱ),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则因为所以SN与片面CMN所成角为45°【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD,AB//DC,,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小.【解析】：以D为坐标原点,射线DA为轴正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 设,则 (Ⅰ) 设平面SBC的法向量为 由得 故 令 又设,则

6、 设平面CDE的法向量 则,得 故 令 由平面DEC平面SBC得 故SE=2EB. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 取DE中点E,则 故,由此得 又,故, 由此得, 向量与的夹角等于二面角A—DE—C的平面角. 于是 所以,二面角A—DE—C的大小为120°.【例3】如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点. (Ⅰ)证明:PE⊥BC (Ⅱ)若==60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图

7、,则A(1,0,0),B(0,1,0) (I)设则 可得 因为, 所以 (II)由已知条件可得故, 设为平面PEH的法向量, 则即因此，取 由可得 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为【例4】如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（Ⅰ）求证：对任意的，都有（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0

8、，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0）， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。（I）解法2：由（I）得.设平面ACE的法