3.4 不动点理论(讲义)

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1、3.4不动点理论3.4.1不动点定理定义3.4.1设是度量空间，是一个映射。若存在数，使对任意，有(3.4.1)则称是上的一个压缩映射(ContractionMapping).若是线性空间，则称是上的一个压缩算子(ContractionOperator).【注】为简明起见，这里用记.由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的倍。定理3.4.1压缩映射是连续映射。证证明压缩映射是连续映射，即证明：对任意收敛点列，必有.因为点列，即：,又因为是压缩映射，即存在数，使得,所以,即：.证毕！定

2、义3.4.2设是一集，是一个映射。若，使得,(3.4.2)则称为映射的一个不动点(FixedPoint).设是一个映射，即：，定义：，，.定理3.4.2(Banachfixedpointtheorem,Banach,1922)设是完备的度量空间，是一个压缩映射，则中必有的唯一不动点。7证先证明映射在中存在不动点。在中任取一点，从开始，令，这样得到中的一个列点.往证是基本点列。因为是压缩映射，所以存在数，使得.(3.4.3)反复应用上式，由归纳法得.(3.4.4)于是，对任意正整数，由(3.4.3)及三点不等式得,(3.

3、4.5)即是基本点列。因为是完备空间，所以在中存在唯一的极限，使得.又因为压缩映射是连续的，所以有.而，且收敛点列的极限是唯一的，故，即就是映射在中的不动点。再证明不动点是唯一的。若也是映射在中的不动点，即，则必有，而，因此要使上式成立，必须，即.证毕！【注1】定理3.4.4又称为压缩映射原理(contractionmappingtheoremorcontractionmappingprinciple)或Banach不动点定理(Banachfixedpointtheorem).【注2】空间的完备性条件，只是为了保证映射

4、的不动点存在；至于不动点的唯一性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。7【注3】定理3.4.2解决了三个问题：(a)证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性;(b)提供了求不动点的方法——迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的“初值”出发，逐次作点列，,它必收敛到方程的解。这种方法称为逐次逼近法。(c)在(3.4.5)中令，得.(3.4.6)上式不仅给出了“近似解”与所求精确解的逼近程度（这个估计式在近似计算中很有用），而且还指出了方程的解可能的范围（又称为事先估计）；例如当，由(3.4.6)知：.【注4】定

5、理3.4.2中的空间的完备性条件不能去掉。例如：考察的子空间到它自身的映射,映射显然是压缩映射，但是在中没有不动点。若不然，设是在中的不动点，则,即,,.即，矛盾！【注5】定理3.4.2中的条件不能减轻为.因为这样，即使是完备的度量空间，而且对任意，当时，有,映射在中也可能没有不动点。例如：的闭子空间到它自身的映射,有7.因为与是一正一负或一负一正，故上述不等式成立。但在中没有不动点.若不然，设是在中的不动点，则.矛盾！压缩映射原理有许多推广，下面的定理3.4.3是定理3.4.2的一个较常见的推广形式。定理3.4.3设

6、是完备的度量空间，是一个映射。若存在一个自然数，使得是上的一个压缩映射，则中必有的唯一不动点。证当时，定理3.4.3就是定理3.4.2.当时，记，则是上的一个压缩映射。由定理3.3.4，映射在中有不动点，即.往证也是的不动点。事实上，因为映射，所以，即是在中的不动点。由于压缩映射在中只有一个不动点，所以，即是在中的不动点。下面证唯一性。设是映射在中的任一不动点，即，则，因此是压缩映射在中的不动点。因为压缩映射在中只有一个不动点，所以.证毕！作为定理3.4.3的一个应用，考察积分方程：7，其中是一个常数。这种类型的方程称

7、为伏特拉(Volterra)型积分方程。定理3.4.4设是区间上的连续函数，是三角形区域上的连续函数，且，则对任何常数，方程(3.4.7)在上有唯一的连续函数解.证考察到的映射：对：.(3.4.8)则方程(3.4.7)有唯一解的问题就转化为映射在中是否有唯一的不动点的问题；即存在唯一的，使得，亦即.对，当时，().(3.4.9)用归纳法证明：当时，.(3.4.10)当时,由(3.4.9)知：(3.4.10)成立！假设当时，(3.4.10)成立！即.(3.4.11)往证当时，(3.4.10)成立！Infact,由(3.4

8、.11)得：7由归纳法原理知：(3.4.10)成立！取自然数，使得,则，利用定理3.4.5知：存在，使得，即：.亦即方程(3.4.7)在上有唯一的解。证毕！3.4.2凸集与凸包定义3.4.3(凸集)设是一线性空间，.若对,连接它们的线段,则称是凸集(convexset)。例3.4.1设是线性空间，的每个线性子空间都是凸集。反之未必