导数在实际生活中的应用

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1、课题:导数在实际生活中的应用教学目的:1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法;⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题.教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题.授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.极大值:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点2.极小值:一般地,设函数f(

2、x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数

3、为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的

4、充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值;⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值二、讲解范例:_x_x_60_60xx例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?解法一:设箱底边长为xcm,则箱高cm,得箱子容积.令=0,解得x=0(舍去),x=40,并求得V(40)=16

5、000由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16000是最大值答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积.(后面同解法一,略)由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处.事实上,可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取

6、,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h,得,则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得,R=,从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?提示:S=2+h=V(R)=R=)=0.例3在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数同,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记

7、为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x)。(1)、如果C(x)=,那么生产多少单位产品时,边际最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2)、如果C(x)=50x+10000,产品的单价P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利润最大?变式:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大?分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.解

8、:收入,利润令,即,求得唯一的极值点答:产量为84时,利润L最大三、课堂练习:1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是___________.2.函数f(x)=sin2x-x在[-,]上的最大值为_____;最小值为_______.3.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___.4.使内接椭圆=1的矩形面积最大,矩形的长为_____,宽为_____.5.在半径为

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