0910012137李凤英-文献综述

《0910012137李凤英-文献综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、文献综述毕业设计（论文）文献综述院系：应用数学学院年级专业：09信息与计算科学姓名：李凤英学号：0910012137指导老师评语：指导教师签名：年月日7文献综述实数连续性定理的等价性证明文献综述【内容摘要】实数集是一个完备的数集，实数连续性定理包括：确界定理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西准则。这七个定理可由确界存在性定理出发依次证明，用致密性定理证明柯西准则的充分性，再由柯西准则充分证明确界存在性定理，形成一个封闭的循环。同时，对这个环上的任意两个定理都可以证明其等价性，它们都刻画了实数集R的连续性。本文建立在微

2、积分的基础上，探讨了数学分析中的这个重点、难点，对实数连续性定理的等价性证明进行了深入的学习。【关键字】确界定理单调有界收敛定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理致密性定理柯西准则实数连续性第一章导言数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是实数的连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程的必备

3、的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了《数学分析》在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。《数学分析》在实数完备性理论体系上的严格化和精确化，确立了它在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、逻辑推理、最优分析、符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。综合所参考的文献，也让我们对实数连续性定理的等价性有了更深入的了解。第二章研

4、究现状7文献综述十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏

5、尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出“有限覆盖定理”，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金“分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现，1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。1999年,在《数学分析七大定理的互相证明》[1]一文中，

6、作者李寒对实数连续性的7个基本定理进行了表述，其表述如下：确界定理：在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。单调有界定理：若数列单调递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛，即单调有界函数必有极限。区间套定理：若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,,即,有限覆盖定理：实数闭区间的任意一个覆盖H，必存在有限的子覆盖。紧致性定理：有界数列必含有收敛子数列。聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。柯西收敛准则：实数列有极限的充分必要条件是：对任意给定的，存在7文献综述正整数，当时，有成立。2000年，在《关于实数连续性的

7、注记》[2]一文中，作者姜本源、石艳霞提出，数直线和坐标平面的连续性奠定了极限理论乃至整个微积分学的基础。人们发现了很多命题去描述这种连续性，而这些命题则是我们所要讨论的实数连续性的七个基本定理。这七个基本定理虽然数学形式不同，但是彼此之间都是等价的。在很多数学分析教材中，由于教学课时的需要和限制，一般都没有对命题的等价性做出完整的证明，而此文则对运用循环证明的方法对几个基本定理的等价性做出了证明，以供初学者参考。2002年，在《Puresolutionmathematicalanalysisexercises》[3]一文中，也同样对实数连续性六个基本定

8、理有详细的定义及描述。而后，作者用确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定