量子力学各高校考研真题集锦

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1、北京大学2008一、简答题1.分别写出在位置及动量表象下，粒子处于位置或动量时的本征函数。答：在位置表象，粒子处于位置时的本征函数为，处于动量时的本征函数为。在动量表象粒子处于位置时的本征函数为。处于动量时的本征函数为。2.答：2183.何谓力学量完全集？答：力学量完全集是一组相互对易的力学量，它们的共同本征函数完全集，可以用来表示粒子的波函数。力学量完全集中力学量的个数为粒子运动的维数。4.已知为自由粒子的波函数，求答：的一般形式为波包，其中满足归一化条件，因而也满足归一化条件。自由粒子的平均

2、动量平均位置218显然，。5.在电磁场存在的条件下，写出通量矢的表达式；力学量的平均值是否为规范不变的？答：通量矢就是几率流密度矢量，的表达式为力学量的平均值是规范不变的。二、一自由粒子时刻处于波函数2181.求在范围内发现粒子的几率。2.求粒子的动量幅。3.求粒子在动量下，在范围的几率。答：1.从的表达式看出，这是无限深方势阱中的波函数，坐标原点位于势阱中心。设势阱宽度为，。在此势阱中的定态波函数为对比218看出，。可见，是阱宽为，的定态波函数。粒子在内出现的几率为2．粒子的动量幅3．粒子动量

3、在范围的几率为218粒子在动量下，在范围的几率为三、取试探波函数为，计算氢原子基态能量上限。答：由归一化条件：得。由，代入中得基态能量218四、已知一粒子哈密顿量，其中。1.求的本征值，本征态及简并度。2.当粒子处于能量的态时，由微扰论求能级的一级修正。答：1.为一维谐振子定态波函数。为求能量的简并度，给定，取确定值。当取确定值时，218可以取值，共有种可能。考虑到可能取值。能量的简并度为2．，3度简并，对应波函数令零级近似波函数满足方程其中218计算表明，除外，所有其它。将的值代入的方程，21

4、8解得能量的一级修正值五、已知角动量量子数时，角动量的本征函数为：，求与的表达式。答：推导见3.10。六、某体系粒子在势场中运动，其哈密顿量为。2181.求体系的所有可能的本征值和本征态。2.当粒子处于1.的基态时，受到微扰作用，试在一级近似下求粒子跃迁到其它态的几率。答：1.的束缚态只有一个，能量与波函数为令，可以表示为的非束缚态为自由粒子态，能量与波函数为218令，可以表示为2.时粒子处于基态，时由于受到周期微扰作用，跃迁到态的几率为其中218将代入中，北京大学20071．体系的归一化波函数

5、为218其中是球谐函数，是正实数。（1）计算与在态下的平均值。（2）又有计算矩阵元和。答：（1）在的表象，计算过程见3.10。由归一化条件得，218（2）以上计算也可以在坐标表象中进行。2182181．两个自旋为1/2的非全同粒子体系。以分别代表自旋向上，下两个量子态。在时体系波函数为体系的哈密顿量为。（1）求时刻波函数；（2）求时刻的平均值：与。答：见645。2．电荷为质量为的点粒子在一维均匀电场中运动，位势为。在时该粒子的坐标与动量平均值分别为与。（1）计算时刻的动量平均值218；（2）计算

6、时刻的坐标平均值；（3）把计算结果同经典物理的结果比较。答：见142。1．质量为，能量，自旋向上（沿轴方向）的电子沿轴从向右运动，在处被相关的位势散射，，其中与为电子自旋的升降算符，。求散射后电子具有自旋向下反射的份额。答：见813。2．一维谐振子的频率与时间有关。体系的哈密顿量为。在时，体系处于谐振子的基态，在时体系跃迁到激发态的几率记为218。（1）计算；（2）当时，计算；（3）讨论时的行为。答：（1）因，故。（2）218当时，（3）当时，南京大学2008一．质量为的粒子被限制在半径为和的两

7、个不可穿透的同心球面之间运动。求粒子的基态能量和归一化波函数。答：见43二．利用不确定关系估计氢原子基态能量。218答：见420三．在电子的某个自旋态中，测量得的几率为，测量得的几率为。求该自旋态和的平均值。答：令，假定为实数。由归一化条件得。由的几率为，得这同归一化条件不符。可见为实数的假定是不对的。不失一般性，令，其中为实数。（一般表达式乘以常数218，就化为同相同的形式）由归一化条件得。由的几率为，得。取正值，。由的几率为，得因，故有。已知，故。将的值代入218，得。取正值，。于是四．能量

8、为的中子束沿轴垂直入射到充满半空间的铁磁体，如图所示。nx=0x在区域，中子与铁磁体的相互作用势，是中子自旋的分量，和218都是常数，且满足。其它地方。1.设入射中子束中自旋分量朝上和朝下的中子各占一半，求反射中子的极化度。极化度定义为2.入射中子能量为何值时，极化度最大？答：见6.56。五．质量为的粒子在势场中做本征频率为的简谐振动。1.218求三个最低能级，对它们及一般情形的能级讨论简并度。2.设粒子受周期性微扰势作用式中是常数。以表示粒子的能量本征态。其中各自对应三个一维谐振子的量子数。设