偏微分大型作业

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1、应用偏微分方程大型作业电信提高0901班吕祺U200913911应用偏微分方程大型作业一：种群演化规律的数学描述设在给定时刻，年龄为的某种群（动物、植物、细菌、细胞等）的分布密度为，例如，每单位体积中细菌数量、每单位体积中细胞数量、每平方公里范围内动物的数量等，初始分布密度为，该种群的最大年龄为。假设在任意时刻，该种群的出生率为，而年龄为的种群的死亡率为随机数。试建立数学模型描述此种群密度满足的微分方程和定解条件，并求解此定解问题。如果记时刻以上种群的总数为，建立满足的微分方程和定解条件，并求解此定解问题。如果年龄为的种群的死亡率为随机过程，请给出合乎实际的假设来建立相应的数

2、学模型，并对建立的数学模型给出理论分析或数值模拟。解：年龄为的种群的死亡率为随机数时，根据条件列出方程用特征线法，取z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a),,w==，从而如果年龄为的种群的死亡率为随机过程，与前述类似分析有，同上用特征线法，取z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a),,w==初始分布为f（a-t），然后乘以积分因子，，其中从0到t的积分表示出生造成的增量，从0到t的积分表示死亡造成的减量，相乘得出在t时的年龄为a的种群密度。应用偏微分方程大型作业二：热传导过程的数学分析和数值模拟将长为50厘米的细棒放置在蒸气中直到整个棒的温度

3、都为100度，细棒的侧面绝热，在初始时刻，将棒的两端浸入零度的冰中。如果棒的材料为铁或混凝土，试计算一个半小时后，细棒中点的温度。已知铁和混凝土的热传导系数分别为和。试用MATLAB工具近似分析温度分布函数的图形特点及其物理意义。解：根据条件列方程如下：，解得，（n=1,2,3…），，，，结合初始条件，，对中点求在一个半小时后的温度：使用matlab命令计算级数：u=0;forn=1:99999u=u+200/n/pi*[1-(-1)^n]*sin(n*pi/50*25)*exp(-0.0415*n*n*pi*pi/2500*5400);endu计算结果：>>jisuanu=

4、52.5488>>即为52.5488摄氏度。Matlab作图如下U（t，25）：随时间递增，x=25cm处温度下降曲线U（1800，x）：在t=1800s，细棒温度分布曲线U（t，x）在最终T=1800时，温度曲面变化示意图U（t，x）在最终T=30000时，温度曲面变化示意图应用偏微分方程大型作业三：弹拨弦的能量分析众所周知，许多音乐设备都是通过弦的振动产生声音的，在某种给定频率下，振动通过空气传送到听众的耳朵。例如，中音C就是一种频率约为256赫兹的音调。当几种不同的音调同时听到时形成谐音。声音的大小取决于振动弦的总能量（动能和势能）。设有长为，两端固定且紧绷着的弦，将其

5、中点向上拉动，使其在离开平衡位置处静止不动，在时刻时放手使弦作纵向振动。试证明，此弦振动产生的声音中，由基频发出的基音的能量约占总能量的，而第二谐频发出的泛音的能量约占。解：用分离变量法解得，，，而，所以。其中（u2=0），驻波对应能量。，，时间T取两周期的最小公倍数2L/a，对动能，，，进一步可推出此积分与n无关，动能=。势能=，=。从以上推导易证驻波能量与n^2成反比的关系。n为偶数时波动为零，第二谐频为n=3.用matlab计算所需级数的命令为：u=0;forn=0:99999u=u+1/(2*n+1)^2endu得到结果u=1.2337>>1/1.2337ans=0.

6、8106>>1/9/1.2337ans=0.0901所以得证。