实变函数重点题集

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1、3、下列说法不正确的是（B）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测二.填空题(3分×5=15分)1、2、设是上有理点全体，则=,=,=.3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的4、可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集,则称为上的有界变差函数。1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。错误2、若，则一定是可数集.错误例如：设是集，则，但c，故其为不可数集3、若是可测

2、函数，则必是可测函数。错误二、2.下列说法不正确的是(C)(A)的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C)存在中点列，使，则是的聚点(D)内点必是聚点3.下列断言(B)是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4.下列断言中(C)是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；1、设，则_________。2、设

3、为Cantor集，则，_____，=________。3、设是一列可测集，则4、鲁津定理：______________________________________________________5、设为上的有限函数，如果_________则称为上的绝对连续函数。答案：2，c；0；3，4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间（第3页，共3页）只要，就有1、由于，故不存在使之间对应的映射。错误2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确3

4、、收敛的函数列必依测度收敛。错误4、连续函数一定是有界变差函数。错误2.(6分)设使，则E是可测集。证明：对任何正整数，由条件存在开集使令，则是可测集，又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.由知，可测。4.（8分）设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。证明：因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且令，则在上处处收敛到，，k=1,2所以…1、设集合，则2、设为Cantor集，则，0，=。3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的

5、4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。5、设在上可测，则在上可积的充要条件是

6、

7、在上可积.1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设Gn=(),n=1,2,L,每个Gn为开集但不是开集.2、若，则一定是可数集。不成立；设是集，则，但c，故其为不可数集。3、收敛的函数列必依测度收敛。不成立4、连续函数一定是有界变差函数。不成立1、（6分）试证证明：记中有理数全体,令（第3页，共3页）显然所以2、设是上的实值连续函数则对任意常数c，是一开集.证明:因f（x

8、）连续，故.即.所以是E的内点.由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。证明：;;;;3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。证明：，是可测集的非负可积函数是上的可积函数.同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。1．设P为Cantor集，则（C）（A）À0(B)(C)(D)5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的是(D)(A)在上可积(B)在上可积(C)在上可积(D)在上绝对连续2、设,若则是闭集若，则是开集；若则是完备集

9、.5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使成一有界数集，则称为上的有界变差函数。1、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集；成立2、若，则；不成立；为中的全体有理点集，则有，而3、若是可测函数，则必是可测函数；不成立.设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的…4．设在可测集上可积分，若，则;不成立.见下页（第3页，共3页）