3第5章-梁弯曲时的位移02

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1、§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角由于：1）小变形，轴向位移可忽略；简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室例：利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正对称和反对称荷载的叠加。qBACxyl/2l(a)(b)+Al/2CBl/2q/2q/2lACBq/21）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转角分别为：2）对反对称荷载，跨中截面C的

2、挠度等于零，并可分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（逆时针）例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC12l直线wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)对图a，可得C截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qB1FqC1wC1wC1qC12l直线wB1(a)对图b，可得D截面的挠度和转角为：同理可得此时

3、B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂梁的叠加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图c中D截面的挠度和B截面的转角为：图d中D截面的挠度和B截面的转角为：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（2）对图b，C截面的挠度和转

4、角分别为：所以：原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：qAEIEIFBCa/2DaaF/2wB直线BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a)BCq(b)F/2BC图a和b中分别给出了两部分的变形情况。(c)并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：进行相应的叠

5、加可得：（向下）（逆时针）（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：（向下）F/2wB直线BwDFw/2AF(a)例：用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的梁C截面挠度。解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加。+ACBl/2l/2aqACBq(a)ACBq(b)l/2-a而图a又可分解为图c和d所示情形，其变形如图：+wC1ACBq/2q/2(d)ACBq/2(c)由此可得：（向下）而图b又可分解为图e和f所示情形，其变形如图：wC3(e)q/2ACB+ACBq/2q/2(f)由此可得：为了求得wC3，图e等效于图g所示情形，其中有：并且

6、：最后可得：+q/2D(h)wB(i)FB'q/2FB'(g)wBF'BwDq+Dqa而：例：用叠加原理求图示变刚度梁C截面的挠度。解：将DE段取出，看成为支座有一定向下位移的简支梁，剪力FSD，FSE看成支座反力，弯矩MD，ME看成荷载，如图a所示，图中给出了其变形情况。ABFEI→∞EI→∞EICl/4l/4l/4l/4DECqDw'DEFSDFSEMDMEF(a)其中：图a又可分为图b所示载荷的组合，变形情况如图。+qDFwCFqDMwCMMD=Fl/8DEMEDFE(b)对图b所示分解，有：由相应的叠加原理可得：由下图所示的变形关系可得D、E两截面的向下位移为：最

7、后可得：（向下）ABFqDCwDDE直线直线曲线wC例：用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B截面的挠度和转角。解：分布荷载可看成为无数微小集中荷载所组成，求梁的位移也可利用叠加原理。任取一个微段dx。xdxlABq0yxq(x)可将该微段上的均布力看成为作用在x处的一个微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图a所示。xxABq(x)dxdwBl(a)由附录IV可知该微力作用下x处梁的位移为：对图a所示任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微集中荷载为：在x=0,l范围对q(x)dx的作用进行叠加，