初二奥数第一讲有关几何证明老师讲义

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1、即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的生命和燃烧的梦，还有那期盼的眼神，我将用全身心的爱照亮他们前进的路。——郑瑾第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的

2、结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最

3、基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示，中，。求证：DE＝DF分析：由是等腰直角三角形可知，，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现证明：连结CD即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的生命和燃烧的梦，还有那期盼的眼神，我将用全身心的爱照亮他们前进的路。——郑瑾说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上

4、的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝ED证明：延长BD到F使DF=BC，因为等边三角形ABC，所以AB=BC，且∠B=60°所以AB=DF因为AE=BD，所以BE=BF所以三角形BEF为等边三角形所以BE=EF,且∠B=∠F=60°因为BC=DF所以三角形BCE全等于三角形EDF所以CE

5、=DE如图8所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的生命和燃烧的梦，还有那期盼的眼神，我将用全身心的爱照亮他们前进的路。——郑瑾求证：EC＝ED证明：作DF//AC交BE于F是正三角形是正三角形又AE＝BD即EF＝AC【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F证明：连结AC在和中，在和中，说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直

6、接得到的两个全等三角形。即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的生命和燃烧的梦，还有那期盼的眼神，我将用全身心的爱照亮他们前进的路。——郑瑾【巩固】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．ABCDEF过C做一条垂线CH交AB于H，交AD于M，然后角边角证明△ACM全等于△CBE｛∠CAM=∠BCE（△ACD里面的双垂）AC=CB很特殊的45°∠ACH=∠CBE｝由此得到CM=BE，然后在证明△CMD全等于△BCD得到∠ADC和∠BDE关系相等

7、（边角边）【巩固】(15届江苏初二2试)已知：如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE＝BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．(江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级)【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到

8、BP、CQ的垂线。即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的