数值分析实验指导书

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1、数值分析实验指导第一章绪论1.1主要内容误差的来源与分类：计算误差，截断误差（方法误差）误差和误差限的概念及计算：绝对误差，绝对误差限，相对误差，相对误差限.有效数位，有效数字的判断代数运算结果的误差，误差的传播等概念.1.2例题分析例1近似值45.0的误差限为（）。A．0.5B.0.05C．0.005D.0.0005.解因，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为。所以，答案为B.例2已知求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解由误差限为.因，由定义知具有4位有效数字，准确到位的近似数。例3已知近似数求的误差限和准确数位。解因，，所以准确到位。则准确到位。1.3数值实验建立积分的递推关系，并

2、在计算机上实现解题提示：由。建立下列两种递推公式：（A）（B），讨论数值计算的稳定性-31-数值分析实验指导第二章插值法2.1主要内容设函数在上连续。已知它在上个互异节点处的值，如果多项式在点上满足，则称是函数的插值多项式。一、拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法。拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：，其中基函数的公式为：余项公式为拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴　准确计算插值基函数，并化简；⑵代入拉格朗日插值多项式公式正确求出插值多项式；⑶求出结果后，可以用进行验算；⑷根据余项公式进行误差估计，如果要估计误差，须

3、知道函数的表达式。二、牛顿插值多项式牛顿插值多项式是一种重要的计算插值多项式的方法。在学习时,应掌握节点数较少的牛顿插值多项式的计算。牛顿插值多项式公式为其中k阶差商的计算公式为：牛顿插值多项式的余项公式为牛顿插值多项式的计算步骤:（1）利用阶差商的计算公式准确计算各阶差商，并化简（2）代入牛顿插值多项式公式正确计算出插值多项式-31-数值分析实验指导（3）求出结果后，可以用进行验算在计算插值多项式时,牛顿插值多项式的计算量比拉格朗日插值多项式的计算量要小。因为应用牛顿插值多项式时，可以避免拉格朗日插值多项式在计算时,每增加或改变节点时需要重新计算插值基函数的缺陷，而只需要在已知的多项式基础上

4、增加一项即可。三、埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式又称为带导数的插值多项式,即在节点处既要求函数值和已知函数值相等又要求导数值和已知导数值相等，且埃尔米特插值多项式的精度较高。(1)两点三次埃尔米特插值多项式公式为：(2)一般埃尔米特插值多项式公式为：其中和是拉格朗日插值多项式的基函数及其导数。埃尔米特插值余项公式为：四．分段插值多项式（1）分段线性插值多项式公式分段线性插值多项式余项公式，其中(2)分段三次埃尔米特插值多项式分段三次埃尔米特插值多项式公式为分段三次埃尔米特插值多项式余项公式为其中-31-数值分析实验指导2.2例题分析例1已知用线性插值计算，并估计误差。解取最接近的两点为插

5、值节点，两个插值基函数分别为故有下面估计误差因为所以例2已知数表123求抛物（二次）插值多项式及近似值137解作差商表：一阶差商二阶差商112323741代入牛顿插值多项式得：故例3已知的函数表012求在[0，2]内的零点近似值8-7.5-18解：因为关于严格单调减少，用反插值法求零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表X8-7.5-18Y012将节点及对应函数值代入二次拉格朗日插值多项式，再令,得-31-数值分析实验指导于是得在内零点值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例4:求满足条件x12试用两点三次埃尔米特插值求埃尔

6、米特插值多项式y23y/1-1解【思路】根据所给条件代入两点三次埃尔米特插值多项式公式。2.3数值实验给定,,取节点,()，构造牛顿插值函数计算点处的值，并绘制图形与比较。-31-数值分析实验指导第三章函数逼近与数据拟合3.1主要内容设函数在区间连续。已知它在上个互异的点处的值。构造一个反映函数值变化规律的)次多项式，使得它在处的函数值与观测值的偏差的平方和最小，即,使取最小值。称是函数的最小二乘多项式，称为的权函数。最小二乘多项式的计算方法:1．根据已知数据的分布情况选择拟合多项式2．将数据代入法方程组中,求出拟合多项式的系数和具体形式.3.还可以利用该多项式估计其它点的函数拟合值3.2例题

7、分析例1．测得一组数据如下表，试用直线拟合这组数据1.41.51.61.71.81.92.02.11.71.791.881.952.032.102.162.21【思路】利用所给数据计算出最小二乘多项式法方程组所需要的数值，代入法方程组求出相关的参数，再写出拟合方程。解：列表法计算Iyii012345671.41.51.61.71.81.92.02.11.71.791.881.952.032.102