利用向量巧解中学数学题

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1、利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）利用向量巧解中学数学题目录1.前言……………………………………………………………………………22.向量基本性质回顾……………………………………………………………33.向量巧解空间几何中的问题…………………………………………………53.1向量巧解角的问题………………………………………………………53.1.1求异面直线a与b所成角θ………………………………………53.1.2求线面所成角θ……………………………………………………73.1.3求二面角的大小…………

2、…………………………………………83.2向量巧解距离问题………………………………………………………93.2.1求点到平面的距离…………………………………………………93.2.2求两异面直线的距离………………………………………………103.3向量巧解平行与垂直的问题……………………………………………113.3.1平行………………………………………………………………113.3.2垂直………………………………………………………………124.向量巧解平面解析几何中的问题……………………………………………

3、…124.1平面几何……………………………………………………………………124.2解析几何……………………………………………………………………135.向量巧解复数的问题……………………………………………………………146.向量巧解三角函数的问题………………………………………………………157.向量巧解其他代数问题…………………………………………………………167.1求最值……………………………………………………………………167.2求取值范围………………………………………………………………177

4、.3解方程……………………………………………………………………177.4代数求值…………………………………………………………………177.5证明等式…………………………………………………………………177.6解不等式…………………………………………………………………187.7代数式……………………………………………………………………197.8数列………………………………………………………………………198.结束语…………………………………………………………………………191.前言随着新课改逐步深

5、入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。2.向量基本性质回顾1.向量的概念　既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）

6、。2.向量的几何表示　　具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作。（AB是印刷体，书写体是上面加个→）　　有向线段的长度叫做向量的模，记作

7、

8、。　　有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。长度等于0的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。3.相等向量与共线向量　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，记作//，零向量与任意向量平行，即//。10利用向

9、量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。4.向量的运算　　4.1加法运算　　＋＝，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，指向终点）　　已知两个从同一点O出发的两个向量、，以、为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是向量、的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量，有：＋＝＋＝。

10、＋

11、≤

12、

13、＋

14、

15、。　　向量的加法满足所有的加法运算定律。　　4.2减法运算　　与长度相等，方向相反的向量，叫做的相

16、反向量，－(－)＝，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）＋(－)＝(－)＋＝0（2）－＝＋(－)　　4.3数乘运算　　实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ，

17、λ

18、＝

19、λ

20、

21、

22、，当λ>0时，λ的方向和的方向相同，当λ<0时，λ的方向和的方向相反，当λ=0时，λ=0。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)=λ(μ)（2）(λ+μ)=λ+μ（3）λ(±)=λ±λ（4）(－λ)=－(λ)=λ(－)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。5.向量的数量积　　已知两个非零向量、