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1、85abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc【title】Act3 Cramer'sRule【ContentArrangement】: 1）Cramer'sRule2）SomemethodstocomputedeterminantAct3-1Somemethodstocomputethedeterminant（行列式的特殊解法）【ContentArrangement】: 1、化为三角形2、降阶法 3、Vandermonde 4、递推法 *5、拆项法*6、析因子法*7、拉普拉斯定理的特例1．化为三角形（加边法）例1：2、降阶法 例：解
2、：785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式)3．Vandermonde例:Vandermonde行列式 证明用数学归纳法。 当n=2时，成立。假设该结论对n-1阶成立，现证明n阶也成立。在中，第n行减去n-1行的倍，n-1行减去n-2行的倍，依次类推，得 4。递推法：785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc例：解：按第一列展开，得： 而：。 故5、
3、拆项法：例：计算行列式解：6、析因子法：例： 解：很明显，=1，2，3，…，都使得=0,而是的次多项式，首项系数为1。且,,…,为互质多项式，故,,…,
4、 7．拉普拉斯定理的两个特例 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.docAct3-2 Cramer'sRuleNowwewilldiscussthesystemofnlinearequationsinnunknowns. Theorem1:Thesystemoflinearequations（1）Thedeterminantiscalledthecoefficient
5、determinantofthesystem..IfthecoefficientdeterminantDofthesystemisnonzero,thenthesystem(1)haspreciselyonesolution,givenbytheformulas.（2）whereisthedeterminantobtainedfromDbythejthcolumnbythecolumnwiththeelementsb1,...,bn.Proof：首先证明（2）是方程组的解。为此把（i=1，2，…，n）代入方程组的第k个方程左端得， 785abc099834a2e6
6、4511fa78fb47526c8.doc 由行列式性质7、8有， 下证解的唯一性：设有另解, 只须证 同理可得，证毕。本定理适用条件： 1、n个未知数，n个方程得方程组； 2、系数行列式D不为零； 3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。Definition：If b1=0,...,bn=0,wecallthesystemhomogeneous. 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doctrivialsolution：（）Co
7、rollary1:Ahomogeneoussystemofnlinearequationsinnunknownswithnonvanishingdeterminanthasonlythetrivialsolution. Corollary2:Ifahomogeneoussystemofnlinearequationsinnunknownshasnontrivialsolution,thenD=0.Example1：Solvethefollowingsystemof linearequations.Solve:系数行列式为： 解的分子行列式为：
8、 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc 所以解为：Example2：SolvethefollowingsystemSolve:系数行列式为：所以方程组只有零解，即x=0,y=0,z=0 【随堂练习】1.方程组有非零解， 。Answer: 2.设多项式，证明：若有个互异零点，则恒等于零。Proof:设的个互异的零点为，则有，即这可视为以为未知量的齐次线性方程组，其系数行列式为n+1阶范德蒙行列式的转置，故于是由
