多重积分变量替换

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1、1积分学多重积分的变量替换2讨论的缘由单积分或一重积分的变量替换(也叫换元)的根据是微积分基本定理,其在计算和证明中的作用是巨大的.在证明了Fubini定理之后,它在重积分的讨论中也获得应用.但这还是不够的！多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目3基本思路什么样的Rn到自身的变换是保集合的可测性的?基本例子:正则变换正则变换如何改变可测集的测度?线性变换：讨论特征函数正则变换：讨论特征函数非负可测函数和有积分函数的积分变换公式4复习Rn上正则变换定义:设Rn是非空开集,TRn满足下列条件:T在上是单射；T在上有一阶连续导数(即是C1的);DT

2、=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)则称T为上的正则变换.结论:T()开集、T-1:T()也是正则变换、且5记号复习：导数矩阵导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):6记号复习：差分的表示设x,B(x,r)(r>0),yB(x,r).TRn在x点可微,则其中T(y),T(x),y和x都是n维列向量,

3、y-x

4、是n维欧氏范数(也叫长度或距离)7记号复习：差分矩阵表示上页的式子的矩阵形式：8记号复习：线性变换设L:RnRn为线性变换,在取定基(通常取标准基)后,L可等同为一个n阶方阵(也记为L).线性变换是可微变换;如果还是

5、非奇异(也叫非退化的),就是正则变换L(x)=Lx;L(x)=L;J(L)=det(L)线性变换的范数:

6、

7、L

8、

9、=max{

10、Lx

11、:

12、x

13、=1}导数的范数:

14、

15、T

16、

17、E=sup{

18、

19、T(x)

20、

21、:xE}9正则变换是可测变换可测变换:把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换正则变换是可测变换:由正则变换把开集映射成开集,再由正则变换是单射,因此在正则变换下,交的像等于像的交.由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零.因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了步骤:(1)在一个闭方块中的零测集的像是零测集;(2)一般的零测集的像是零测集10

22、闭方块中零测集的像设Rn中的开集,T为上的C1变换.闭方块Q,EQ为零测集,即

23、E

24、=0,则

25、T(E)

26、=0.证明:只要证明,

27、T(E)

28、<就行了.记=

29、

30、T

31、

32、Q,由微分中值不等式任取,由

33、E

34、=0,存在可数多开方块Ck,k=1,2,…11闭方块中零测集的像(续)不妨设,否则用CKQ替代CK.取为Ck的中心,记Ck的边长为,我们有因此所以12零测集的像是零测集设Rn中的开集,T为上的C1变换.E为零测集,即

35、E

36、=0,则

37、T(E)

38、=0.证明:可以表示成可数多个闭方块的并以及上面的结论，就可以得到所要的结论.#13可

39、测集的像是可测集设Rn中的开集,T为上的正则变换.E,为可测集,则T(E)也是可测集.证明:由E可测,则存在可数多个开集Gk和零测集Z,有注意T(Gk)是开集且就得到结论.#14问题二如果仅要求T是C1的,T还能把可测集映成可测集吗？其他类型的可测变换.15正则变换如何改变测度基本结果：测度积分如何证明：线性变换:此时J(T)是常数正则变换16线性变换测度公式设L是Rn上的线性变换,ERn可测.则L(E)可测且

40、L(E)

41、=

42、det(L)

43、

44、E

45、.证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形对方块结论成立(利用线性变换的初等分解)，学生自己写清楚对开集结论成立(

46、由第一步和测度的性质)对有界可测集结论成立对一般可测集结论成立17线性变换测度公式(续)有界可测集：取单调递减的开集列Gk和零测集Z,注意

47、Gk

48、

49、E

50、(k),

51、L(Gk)

52、

53、L(E)

54、(k),以及

55、L(Gk)

56、=

57、det(L)

58、

59、Gk

60、就得到结论一般可测集:取单调递增有界可测集列Ek,类似的步骤给出结论.#18线性变换的两个推论推论1:Lebesgue测度在正交变换下是不变的；推论2:设a>0,L=aI(位似变换,也叫伸缩变换)则

61、L(E)

62、=an

63、E

64、.19线性变换积分公式设L是Rn的可逆线性变换,ERn可测.是L(E)上的可积函数.则下列公式

65、成立证明:考虑E=Rn的情形就可以了.只要证明对简单函数结论成立就行了,而这正是测度公式所说的,惟一要注意的就是20正则变换的测度不等式E为闭方块Q成立(证明关键)E为开集G任意可测集E闭方块Q情形的证明:记h为Q的边长.证明的想法是对T用其导数(线性变换)“局部”近似.具体方法是等分Q和利用导数的连续性以及线性变换时的结果.21闭方块测度不等式通过把Q的各边m等分将等分Q为N=mn个不重叠的小方块{Qk},记Qk的中心为xk,Lk=T(xk),k=1,…,N.由可微性由微分中值定理,得到不等式,记22闭方块测度不等式(续1)由T在Q上连续,

66、()0