剪力图和弯矩图

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1、弯曲第9章9-4求惯性矩的平行移轴公式9-2剪力图和弯矩图的进一步研究9-3弯曲正应力9-6梁的强度条件9-5弯曲切应力9-8弯曲应变能9-10超静定梁9-7挠度和转角§9-1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图9-9斜弯曲材料力学发展大事记—梁的弯曲问题在《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明》一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问题。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力和bh2（b、h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁承载能力和d3（d为

2、横截面直径）成正比的正确结论。对于空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力”。梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长也不缩短者，称为中性层。早在1620年荷兰物理学家和力学家比克门（BeeckmanI）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另一侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国科学家胡克（HookeR）于1678年也阐述了同

3、样的现象，但他们都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法国科学家马略特（MariotteE,1680年）。其后莱布尼兹（LeibnizGW）、雅科布·伯努利（JakobBernoulli，1694）、伐里农（VarignonD,1702年）等人及其他学者的研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。18世纪初，法国学者帕伦（ParentA）对这一问题的研究取得了突破性的进展。直到1826年纳维（Navier，C.－L.－M.－H）才在他的材料力学讲义中给出正确的结论：中性层过横截面的形心。平截面

4、假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科布·伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（NemoreJde）已经提出，此后雅科布·伯努利、丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）、欧拉（EulerL）等人都曾经研究过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正

5、确公式，为梁的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ЖуравскийДИ）于1855年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞别斯帕罗夫（ВеспаловД）开始使用弯矩图，被认为是历史上第一个使用弯矩图的人。内容提要剪力和弯矩•剪力图和弯矩图§9—1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。aPAB一、梁的剪力（FS）和弯矩（M）的定义与计算mmx1、用截面法求横截面上的内力FS用截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyCa

6、PABmmx由平衡方程得可得FS=FAFS称为剪力可得M=FAx由平衡方程M内力偶M称为弯矩aPABmmxFSxxmAmyCMaPABmmxFSxxmAmyC梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，结论剪力FS弯矩MFSM其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。MFSxxmAmyC取右段梁为研究对象。BmmPdx+（1）剪力FS的符号2、FS和M的正负号的规定剪力FS使梁的微段发生“左上右下”的错动为正。FSFS或使考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。dx-剪力FS使梁的微段发生“左下右上”

7、的错动为负。FSFS或使考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。+横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为正。（2）弯矩符号（受拉）MM（受压）横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为负。-（受压）MM（受拉）例题：求外伸梁1-1，2-2，3-3，4-4横截面上的剪力和弯矩。12KN.mAB2m2m2m2KN11223344FBFA解：求支座反力，取整体为研究对象12KN.mAB2m2m2m2KN1123344FBFAFA11M1FS1求1-1横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。212KN.m

8、AB2m2m2m2KN223344FBFAM2FS2求2-2横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。FA12KN.m221112KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFA11在集中力偶两侧的相邻横截面上,剪力相同而弯矩发生突变,且突变值等于外集中力偶之矩.12KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFA11求3-3横截面上的内力（假设剪力和弯矩为