第三讲 古典概率的计算

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1、第一章概率论的基本知识古典概率的计算第三讲§4等可能概型（古典概型）续古典概型中某事件A出现的概率的计算公式为：可见，对古典概型，只要分析清楚试验的样本空间中基本事件的总数n，事件A包含的基本事件数k，就可求得事件A的概率。这样就把概率计算问题转化为计数问题。排列组合是计算古典概率的重要工具。我们再举几个例子。例1一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：有放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放

2、回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件，设A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:无放回抽取:例2将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子容量不限)解：将n只球放入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球,共有由此可得，每

3、个盒子中至少有2只球的概率为此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。nP2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997取N=365，经计算可得下述结果：例3袋中有a只白球，b只黑球．k个人依次每人从中任意取出一只球，试求第i人取出的球是黑球的概率．解：设：A=“第i人取出的球是黑球”在a+b个球中依次取出k个球的取法为1）有放回抽样2）无放回抽样其余的k-

4、1个球的取法为第i人取得黑球取法为“第i人取出的球是黑球”的取法为注意：此结果与k无关！即k个人取球，尽管先后次序不同，每个人取得黑球的概率是一样的。机会均等！（例如，在买彩票时，每个人得奖的机会都一样）。另外有放回抽取与无放回抽取也是一样的。例4某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为:千万分之三！人们

5、在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。例5在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”B为“取到的整数能被8整除”返回主目录则所求的概率为：6，12，18，…，1998共333个所以能被6整除的整数为：能被8整除的整数为：8,16,…,2000共250个

6、于是所求的概率为：“既被6整除又被8整除”即“能被24整除”的24,48,…,1992共83个小结:1、古典概型是重要的概率模型2、古典概率计算公式为3、古典概率计算重点是计数问题，排列组合是重要的计数工具。