同底指数函数与对数函数图象交点个数

同底指数函数与对数函数图象交点个数

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时间:2018-10-08

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1、同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究:指数函数与对数函数互为反函数,那么它们图象有什么关系呢?通过探究发现,我们容易知道它们的图象关于直线对称,那么它们图象交点有几个呢?教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下?这是一个探究价值很高的问题,教材这样处理,主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分和两者情况进行讨论.1.当时在几何画板中,画出与图象,发现它们没有公共点(如图1).当底数逐渐变小时,与图象与逐渐接近,然后相切(如图2),再相交(如图3),而且我们清楚地看到它们交点在上.图1图2图3事实上,由反函

2、数图象对称性知,确实如此,所以研究与图象交点情况即研究与图象交点情况.下面,我们从“临界状态”入手研究,从代数角度看只需联立方程让方程只有一个根即可,属于超越方程,无法用常规方法解,利用导数(选修2-2中知识)解法如下:∴所以,当时,函数与图象与相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得:当时,函数与图象有0个交点;当时,函数与图象有1个交点;当时,函数与图象有2个交点.1.当时同样地,我们也在几何画板中画出与图象,发现它们有一个交点(如图4).当底数逐渐变小时,我们惊奇地发现与图象出现了3个交点(如图5).图4图5由函数的单调性和连续性知,当时,与图象不可能相切

3、,所以交点情况只有1个或者3个.同样地,我们也可以用导数解出临界状态时的的值,类似的,我们得到以下结论:当时,函数与图象有1个交点;当时,函数与图象有3个交点.综上所述,当时,函数与图象有0个交点;当或时,函数与图象有1个交点;当时,函数与图象有2个交点;当时,函数与图象有3个交点.微练习:1.下列命题①若点在函数图象上,则点在函数图象上②当时,函数的图象与直线无公共点③若点既在函数图象上,也在函数图象上,则④当时,函数的图象与直线有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知,则方程实根的个数为()A.1个B.2个C.1个

4、或2个D.1个或2个或3个3.已知,则方程的实根的个数为()A.2个B.3个C.2个或3个D.2个或4个【答案】1.①由反函数图象对称性知正确;②当时,函数的图象与直线可能有0个或1个或2个交点,所以错误;③当时,函数与函数交点有3个时,其中2个不在上,所以错误;④当时,函数与直线只有一个交点,所以正确.故选C.2.由函数与方程思想知,方程的根的个数即函数与函数图象交点个数,而是把图象在轴下方部分作关于轴对称,又因为当时,函数与函数图象交点可能有0个或1个或2个,所以实根个数可能是1个或2个或3个,故选D.3.当时,方程在区间内实根个数是1个或3个,在区间内的实

5、根个数为1个,所以时,方程实根个数为2个或4个,故选D.

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