哈工程线代2012试题

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1、班级：学号：姓名：装订线哈尔滨工程大学本科生考试试卷（2011年秋季学期）2012-1-13课程编号：0911006课程名称：线性代数与解析几何A题号一二三四五六总分分数评卷人1.已知阶方阵满足，是单位阵，则.解析：所以，2.若3阶方阵的特征值为，则矩阵的相似对角矩阵为.解析：设，则所以，所以矩阵的相似对角矩阵为：3.设阶方阵的各行元素之和都等于0，且，则的通解为.解析：由题意知：齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数：而由“阶方阵的各行元素之和都等于0”得，即是齐次线性方程组的解。第9页共8页第10页共8页班级：学号：姓名：装订线所以的通解为：4.已知二次型正定，则满

2、足条件.解析：二次型正定所以有：即：5.已知线性空间，，，，其维数分别为，，，则.解析：P104:线性空间，线性无关线性空间，线性相关P89：利用特殊值法，取，则，而所以有线性无关所以41.设为阶方阵，则必有（）.A.B.C.D.2.设为4阶方阵，，则（）.A.64B.32C.8D.16第9页共8页第10页共8页班级：学号：姓名：装订线=3.如果3个几何向量共面，则以下结论中错误的是（）.A.的混合积是0B.线性无关C.线性相关D.中至少有一个向量可由其余2个向量线性表示4.已知动点与平面的距离为4个单位，与定点的距离为3个单位，则动点的轨迹是（）.A.圆柱面B.平面上的圆

3、C.椭圆柱面D.平面上的椭圆5.设与为相似矩阵，则正确的结论为（）.A.与有相同的伴随矩阵B.C.,与同一对角阵相似D.1.设矩阵，求的值.解：………….…….6分.……………………………………………….…..2分2.已知向量组,,，求此向量组的秩和一个极大无关组，并用此极大无关组表示此向量组中其余的向量.解：......2分所以，………………………………………..2分是一个极大无关组，………………………………..2分.…………………………...2分3.求点关于直线的对称点的坐标.解：过点做与直线垂直的平面：…………………………..…..3分平面与直线的交点：将带入平面方程

4、，得…...3分所求对称点坐标.…………………………………………………….2分4.设三维实空间的两组基为：；.求（1）从基到基的过渡矩阵；第9页共8页第10页共8页班级：学号：姓名：装订线（2）向量在基下的坐标.解答：（1）…………………….2分；……………………………….…………….2分（2）…………………….2分………………………………..…………….2分1.设向量，与满足关系，记作，求：（1）的特征值和特征向量；（2）若，求.解：由得……………….1分（1）A的特征值为1,3；…………………………………………………….1分对，解所求的特征向量为，………………………..

5、…………….2分对，解所求的特征向量为；………………………..…………….2分（2），令，有=.…………………….2分2.已知可用正交变换化二次型为标准形，求：（1）参数和正交矩阵；（2）方程表示什么曲面？解：（1）二次型的矩阵为，………………….….2分其特征值为，由得；……………..…….2分对于特征值，可得对应的特征向量；….2分正交化得；单位化得；对于特征值，可得对应的特征向量，单位化.……………..…….2分第9页共8页第10页共8页班级：学号：姓名：装订线则正交阵.……………………………………….…….2分（2）方程表示单叶双曲面.……………………………2分设有

6、三个平面：，，，试讨论（1）,为何值时，三个平面交于一点；（2）,为何值时，三个平面交于一条直线.解：三平面的法向量分别为两两互不平行，故这三个平面互不平行.………………4分（1）当时，方程组有唯一解，此时三平面交于一点.……………….2分（2）当时，方程组有无穷多组解，此时三平面交于一条直线.…………………………………………...…….2分1.设阶方阵的秩为，且，若为任意一组维列向量，求证：向量组必线性相关.证明：，…………………….…………….2分由，得方程组（1）有非零解，P70、P77故存在不全为零的数使成立，因此线性相关.…………………….…………………..…….

7、3分1.设，且，求证：为正定阵的充分必要条件.证明：由为正定阵，得有，得，即方程组仅有零解，所以.………………….…………….2分由得仅有零解，有，，所以，，故为正定阵.…………………….…..第9页共8页第10页共8页