南开大学2005年数学分析考研试题

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1、南开大学2005年数学分析考研试题1.计算二重积分，其中.2.设为由方程组确定的隐函数，求.3.求极限.4.求证在上连续.5.判断级数的敛散性.6.设函数在上连续可导，且，（1）求证在上一致收敛；（2）设，求证在上连续可导.7.设，在全平面上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周,有，求证.8.设在上两次可导，，，并且对任何，有.设，（1）求证；（2）求证存在,使得；（3）求证.9.设和在区间内有定义，对任何，有，(1)求证在内连续;(2)在内左导数、右导数存在。5南开大学2005年数学分析考研试题的解答1、解.2、解，其中由求

2、出，。3、解原式.4、证明设，，显然对任意，一致有界，对每，在上单调，，且当时，一致趋于0，根据狄利克雷判别法，得在上一致收敛，又在上连续，故在上连续。5.解法1由泰勒公式，则，而后者收敛，则原级数收敛。解法2利用,得5原式，所以原级数收敛。6、证明由于函数在上连续可导，且，在上连续，且有界，设；由拉格朗日中值定理，而收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。因为所以一致收敛,于是可以逐项求导，且,它是连续的，故连续可导.7、证明用反证法：假设存在，有，不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在的一个邻域，当时，有，则存在一个圆

3、周，，这与已知条件矛盾。所以结论得证。8、证明当时，，时，，综上，成立；用反证法，若对任意的，有，则在时，不存在，矛盾。所以在,使得；5由（1）、（2）知，在上，，但与不恒等，所以，，故。9、证明（1）对任意，由题设条件，得，，从而得到，即，于是在上是凸函数，由此而来，成立，进而，关于是单调递增的，关于是单调递增的。（2）对任意固定，任取则有，则，关于单调递增，且有下界，于是存在右极限，即存在，同理可证存在，由极限的保不等式性，可得。于是在内右导数存在，在内左导数存在，且。(3)对任意,,，从而有5于是有，即得在上是Lips

4、chitz连续的,从而在上是连续,故可得知在内连续.当有端点时，在断点处未必连续.（注：在上未必有界。例如，，在上是无界的。）例1设，显然此函数在上是凸函数,但是在上无最小值，在处不连续.例2设，，在上是凸函数，且有下界，但是在上无最小值.5