控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

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1、预备知识---控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov)稳定性分析ModernControlTheory李雅普诺夫意义下的稳定性平衡状态稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法线性系统的稳定判据非线性系统的稳定判据李雅普诺夫第二法预备知识几个稳定判据线性系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用主要内容引言稳定性：表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统本身仍有能力恢复到平衡状态的一种“顽性”，属于系统的基本结构特性，而与输入作用无关。不同的稳定性概念：（1）李雅普诺夫意义下的稳定性——内部稳定性；（2）输入输出稳

2、定性——外部稳定性研究的目的和意义：稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。引言经典控制理论判别稳定性的方法：劳斯判据奈魁斯特判据对数频率判据根轨迹法适用范围：线性定常系统，不适用于非线性和时变系统。描述函数法：又称谐波平衡法，只适用于非线性程度较低的系统。相平面法：只适合于一阶、二阶非线性系统。引言俄国学者李雅普诺夫Lyapunov（1857－1918）1892年在博士论文中提出稳定性理论----不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非

3、线性、时变系统，是确定系统稳定性的更一般性理论。1907（15年后）出版了法文版1992（100年后）出版了英文版当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字。引言Lyapunov稳定性方法主要内容：通过求解特征方程的特征值，利用其性质判断系统的稳定性（间接法）不求解微分方程，而利用经验和技巧构造能量函数----李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性（直接法）其基本思路和分析方法与经典理论一致特别适用于非线性系统和时变系统（因其状态方程求解困难）对任意阶线性或非线性、定常或时变系统的稳定性分析均适用的一般性方法引言2、初态：的解为初态一、李雅普诺夫意义下的稳定性(一)几个基本概念其解表示为：1、

4、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。其状态方程描述为：只需考虑自治系统（因为稳定性是系统在自由运动下的特性）：表示始于初态x0的一个运动或一条状态轨迹3、平衡状态n维状态向量变量和t的n维向量函数若对所有t，总存在，则称为系统的平衡状态或平衡点。注意：1）如果系统是线性定常的，即：，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即原点；对系统系统能维持在某状态不再变化2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。无穷多个三个平衡状态如：3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；而非线性

5、系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对于平衡状态而言的。4）线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关；但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。5）孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。因此，仅仅需要讨论系统在这个平衡状态处的稳定性即可。----“原点稳定性问题”极大简化了研究，又不失一般性，是Lyapunov的重要贡献。4、状态向量x的范数在

6、n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为：状态向量到平衡点的范数：当范数限制在某一范围之内时，可以表示为,且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。欧几里得范数(二)稳定性的几个定义表示状态矢量与平衡状态的距离点集表示以为中心为半径的超球体（球域）向量的2范数或欧几里得范数1、预备知识当很小时，称为的邻域。表明齐次方程由初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的设系统如果对每个实数都对应存在另一个实数，使得满足的任意初始态出发的运动轨迹，在都满足：2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性－向量范数(表示空间距离)则称平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定，常简称为稳定。注意：通常实数与

7、有关，一般情况下也与有关若与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。时变：与有关定常系统：与无关，是一致稳定的。平衡状态即：如果对应于每一个，存在一个，使得当t趋于无穷时，始于的轨迹不脱离，则系统的平衡状态称为在Lyapunov意义下稳定。状态轨迹李氏意义下稳定性的几何表示状态响应有界3、渐近稳定1）渐近稳定必然是Lyapunov意义下的稳定2）3）一致渐近稳定如果平衡状态是稳定的，并且始于域的任一条轨迹当时间t趋于无穷时，都不脱离，且