资源描述：
《直线和圆锥曲线位置关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、8.2直线和圆锥曲线的位置关系聚焦考点 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高
2、考和各类型考试，可以发现：1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论
3、思想解题。热点透析题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0.(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个
4、交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点. 综上知:当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点； 当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点； 当k＞时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为
5、AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)， 则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==2 但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第
6、二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围。（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【解】（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程后，整理得。①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故 解得k的取值范围为（2）设A、B两点的坐标分别为、，则由
7、①式得 ② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点， 则由得：，即。 整理得。 ③ 把②式及代入③式，化简得。 解得或（舍去）。 ∴存在使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。题型2：有关弦长问题【例2】如图所示，已知椭圆与抛物线有公共焦点，M是它们的一个交点，若，且。（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。【解】（1）的焦点， 准线：，∴p=2c。设， 由，得， 由，得， ∵， ∴，∴c=2。∴，代入，解得，
8、 ∴椭圆方程为，抛物线方程为。（2）设直线l的方程为，与联立，得。 。 将l的方程与椭圆方程联立，得： ∴ 由。 ∴存在直线l，其方程为： 或。题型3：与中点弦有关的问题【例3】已知双曲线方程。（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。（2）是否
