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1、《数理统计与随机过程讲义》段法兵复杂性科学研究所第一章概率论回顾下面是数理统计部分需要的掌握的，许多推导的基础知识。§1.1几种分布的由来指数分布：服务台电话呼叫时间，公交车到达一个车站时间，这些时间分布的符合指数分布。设为区间上没有事件发生的概率，为第一次事件发生等待的时间，那么，假设不同时间区间，相互不重叠且独立，那么为非平凡（非零）有界解，这里为状态转移概率那么我们有分布函数因此得到指数分布两个指数分布之和的分布？Xx=z-yYY在x-y的空间内，满足的区域如上，那么z的累计分布那么例如与为相互独立的指数分布，和分别为其概率
2、分布函数，那么+的分布为，Gamma分布：N个指数分布的随机变量之和的分布为Gamma分布。例如与为相互独立的指数分布，和分别为其概率分布函数，那么+的分布为如此卷积下去，N个相互独立的指数分布相加的概率分布为Gamma分布，其概率密度函数这里参数。Gamma函数。性质1：利用分部积分法得到递推公式，当为整数n时，利用分部积分法得到，而非整数，利用变量代换，得到，所以有。性质2：，Gamma分布为的指数分布；为整数n，Gamma分布为Erlang分布，如第一次故障后再次出现n次故障；，，Gamma分布为分布，抽样理论中一种重要分布
3、。§1.2随机变量函数的分布因为我们在后面统计假设，检验时将遇到随机变量的函数，因此求出随机变量函数的分布是一个非常重要的基础知识。分为单输入单输出和双输入单（双）输出三种类型。类型一：设的分布，求的分布xyy=g(x)fxdydx3dx1dx2如图所示，在dy区间发生的概率为，由于不一定是单调函数，dy区间对应了多个区间dx1，dx2,dx3,…，都满足，dy区间发生的概率等于所对应的所在区间发生的概率：我们设为逆函数，则例子：设的分布，求平方律检波器输出的概率分布函数。解：为反函数两支，且，则这个分布就是Gamma分布的，也是
4、自由度为1的分布。例子：设的分布为均匀分布=，，那么的分布为柯西分布逆问题1：已知的分布，如何构造函数使得符合（0,1）之间的均匀分布。由上面推导知将代入上式，得出可以看出我们要找到函数就是的累积分布函数。应用：数字图像的直方图均衡化【Gonzalez：数字图像处理】数字图像的直方图就是图像灰度的分布，比如电子显微镜下花粉图像Matlab代码：假设你有花粉图像pollen.tif>>X=imread('pollen.tif');>>imshow(X)>>imhist(X)>>ylim('auto')原始花粉图像灰度的分布直方图可以
5、看出图像较暗，灰度集中在较低的灰度级别-偏暗端，如果将灰度调节一下，使得整个灰度范围内（0,255）内大致均匀分布，那么就达到了亮度调谐的目的。利用上面推导，就是的累积分布函数，这里是离散分布，那么就把积分改成加和的方式，设为不同灰度级灰度的概率，那么均衡化变换为，就是输出图像的灰度值。这样处理：>>Y=histeq(I,256);>>imshow(Y)>>figure,imhist(Y)>>ylim('auto')可以看出输出图像的直方图在256个灰度级都有分布，比较接近均匀分布，并不是完全平坦。但是图像已经比较亮度合适了。逆问
6、题2：已知的分布为（0,1）之间的均匀分布=1，如何构造函数使得符合任意分布。同理，由，得到=就是逆函数为y的累积概率密度函数，自然就是的逆函数：例子：求Rayleigh分布这个是只对于r>0有定义，求CDF那么如果设U为均匀分布（）1-U也是均匀分布，即那么得出变换关系R就是瑞利分布了~~~~~Rayleigh随机数程序clearalln=input('Enternumberofpoints>');varR=3;%setpdfparameteru=rand(1,n);%generateUy_exp=sqrt(-2*varR*lo
7、g(u));%transformation[N_samp,r]=hist(y_exp,20);%gethistogramparameterssubplot(2,1,1)bar(r,N_samp,1)%plothistogramylabel('NumberofSamples')xlabel('IndependentVariable-x')subplot(2,1,2)term1=r.*r/2/varR;%exponentray=(r/varR).*exp(-term1);%Rayleighpdfdel_r=r(3)-r(2);%det
8、erminebinwidthp_hist=N_samp/n/del_r;%probabilityfromhistogramplot(r,ray,'k',r,p_hist,'ok')%compareresultsylabel('Probability
