一类非线性算子不动点定理

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1、一类非线性算子的不动点定理学生：阎继先指导教师：李永金摘要：运用锥与半序理论和迭代方法，讨论了一类不具有连续性和紧性条件的非线性算子方程:解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。所得结果改进和推广了反向混合单调算子方程的某些已知相应结果。关键词：锥与半序；反向混合单调算子；非对称迭代；不动点0引言在Banach空间中，混合单调算子和反向混合单调算子是两类重要的算子，广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中。对于混合单调算子，应用迭代方法已得到了许多好的结果，但对反向混合单调算子方程解的存在性却很少涉及。本

2、文对算子的连续性和紧性不做任何限制，通过引入谱半径知识，利用迭代技巧，讨论了半序空间中一类算子方程解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。1预备知识总假设E为实Banach空间，θ表示E中的零元。定义1如果对E的某些元素x，y之间可以定义一种元素关系，记为：。具有：（a）对任给，都有；（b）如果则；（c）如果则，则称“”是一种半序关系，E在该半序下是一个半序集。定义2非空闭凸集，如果P满足：（a）；（b），则称P是一个锥。于是在E中可引入半序关系如下：，如果。定义3如果存在，使得时，有，N为P的正规常数，锥

3、P称为正规的。定义4设且，表示E中的序区域。若时，，称二元算子是反向混合单调算子。定义5设则极限存在，并称为有界线性算子T的谱半径。定义6设X和Y是半序集，，，如果蕴含着，则称A是D上的增算子。定义7如果，满足，则称是算子A的一个不动点。2主要结果定理1设P是实Banach空间E中的正规锥，，是反向混合单调算子，是连续的非线性算子，若满足下列条件：（Ⅰ）存在正有界线性增算子,且满足：，且，其中I为恒等算子；（Ⅱ）存在常数，满足当时；（Ⅲ）当时，则算子方程：在D上有唯一的不动点。构造迭代序列：，，n=1,2,…都收敛于且

4、有误差估计：，（N为常数）。证明：运用数学归纳法证明（*），事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）及A是反向混合单调算子知，则（*）式成立，假设n=k时式（*）成立，即有，从而有：，，则n=k+1时，由A的反向混合单调性知：则（*）式成立。再由条件（Ⅱ）和A的反向混合单调性知：，令，对任给的，由，可知存在，使得。根据P的正规性递推得：。又，，从而，，所以{}和{}是E中的Cauchy序列。由E的完备性知，存在，使且，再由与锥P的正规性，易知：。由，令得：，又由条件（Ⅲ）知：，再由，同时令，得，即是方程在上的不动点。下证的唯一

5、性。设也是方程在D中的不动点，则仿照上述方法由归纳法可得：，令得，故是在D中的唯一不动点。最后在和中，令便得到误差估计式。证毕定理2设P是实Banach空间E中的正规锥，，是反向混合单调算子，是连续的非线性算子，若满足下列条件：（Ⅰ）存在正有界线性增算子,且满足：，其中I为恒等算子；（Ⅱ）存在正有界线性算子，L的谱半径:，并且，使得,当时；（Ⅲ）当时，则算子方程：在D上有唯一的不动点。构造迭代序列：，，n=1,2,…都收敛于,且有误差估计：，（N为常数）。证明：运用数学归纳法证明（*），事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）

6、及A是反向混合单调算子可知：，则（*）式成立，假设n=k时式（*）成立，即有，从而有：，，则n=k+1时，由A的反向混合单调性知：则（*）式成立。再由条件（Ⅱ）和A的反向混合单调性知：，令，对任给的，由，可知存在，使得。根据P的正规性递推得：。又，，从而，，所以{}和{}是E中的Cauchy序列。由E的完备性知，存在，使且，再由与锥P的正规性，易知：。由，令得：，又由条件（Ⅲ）知：，再由，同时令，得，即是方程在上的不动点。下证的唯一性。设也是方程在D中的不动点，则仿照上述方法由归纳法可得：，令得，故是在D中的唯一不动点

7、。最后在和中，令便得到误差估计式。证毕参考文献：【1】郭大钧非线性泛函分析[M]。济南：山东科学技术出版社，1985【2】孙经先非线性泛函分析及其应用。科学出版社，2008【3】GuoDajun&V.LakshmikanthamCoupledfixedpointsofnonlinearoperatorswithapplications.NonlinearAnalysisTMA,11(1987):623-632【4】严心力对称压缩算子方程解的存在唯一性定理及其应用[J]。科学通报。1990,35（10）：733-736【

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