垂直于弦直径

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1、新课标第一网（www.xkb1.com）--中小学教学资源共享平台垂直于弦的直径重点：垂径定理的证明和其推论的正确表述1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论圆的两条平行弦所夹的弧相等难点：垂径定理的题设和结论的正确区分和应用典型例题：例1：已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD分析：作出弦心距在大圆与

2、小圆中分别使用垂径定理可证证明：过点O作OE⊥AB垂足为E则AE＝BECE＝DE∴AE－CE＝BE－OE即AC＝BD例1图例2图例2：已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离分析：作出O到AB的距离为弦AB的弦心距，如图ON即EM的长由已知的数据可以求出ME的长，解：作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N∴CE＋ED＝10∴MC＝5EM＝2又∵AB⊥CD∴四边形ONEM为一矩形∴ON＝ME＝2cm例3：已知：⊙O弦AB∥CD求证：新课标第一网----免费课件、教案、试题下载新课标第一网（www.xkb1.com）-

3、-中小学教学资源共享平台例3图分析：此题实际上是定理“圆中两条平行弦所夹的弧相等”的证明。首先由垂径定理得到弧等再用半圆分别减去两段弧，可证：证明：作OE⊥AB于E并延长OE交CD于F，交⊙O于M、N∵AB∥CD∴OE⊥CD∴∴又∴例4：已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．分析：连结AE，则在Rt△AOE中求AE，就可以得到AB的长,由已知的比例关系求出CE、ED的长，从而确定EO的长，用勾股定理可求AE解：∵CD⊥ABAE＝EB连结OA，∴OA＝6cm又∵CE∶ED＝1∶3且CD＝2r＝12∴CE＝3OE＝3连结O

4、A，在Rt△AOE中，∴AB＝例4图例5图例5：已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于EDF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF分析：求出OE＝OF，可间接求证AE＝BF，可以作出CD弦的弦心距利用垂径定理，再用平行线等分线段定理可证新课标第一网----免费课件、教案、试题下载新课标第一网（www.xkb1.com）--中小学教学资源共享平台证明：作OM⊥CD于M∴CM＝MD∵EC⊥CD，FD⊥CD∴EC∥FD∴EO＝OF∵OA＝OB∴AE＝BF【同步达纲练习】1．已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，1

5、题图2．已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：OE＝OFCE＝DF2题图3．在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB3题图4．已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长4题图新课标第一网----免费课件、教案、试题下载新课标第一网（www.xkb1.com）--中小学教学资源共享平台5．已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇5题图6．已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE

6、⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF6题图新课标第一网----免费课件、教案、试题下载新课标第一网（www.xkb1.com）--中小学教学资源共享平台参考答案【同步达纲练习】1．∵AB为⊙O的直径∴AC⊥BC∵DE是BC的垂直平分线∴且AC∥DE∴∴2．延长AF交⊙O于G连结OG∴∠EBA＝∠A＝∠OGA连结BG∴∠BGA＝90°∴BE＝GF又OB＝OG∴△OBE≌△OGF(SAS)∴OE＝OF∴ME＝MF作OM⊥CD∴MC＝MD∴EC＝FD3．作OM⊥AB并延长交OM于N∴AM＝MB∵AB∥EF∴ON⊥EF∴CM＝MD∴AC＝DB4．连结OB∴BD＝4cm延

7、长DO交⊙O于A＇∵BD＝DC∴∴A＇与A重合∴AD＝AO＋OD＝5＋3＝8cm∴5．作OC⊥AP于C，O＇D⊥AB于D∵AB∥OO＇∴CD＝OO＇又AC＝CPPD＝DB∴即∴2OO＇＝AB6．新课标第一网----免费课件、教案、试题下载新课标第一网（www.xkb1.com）--中小学教学资源共享平台作OM⊥EF于M∴MC＝MD又AO＝OBAE∥BF∴EM＝MF∴EC＝DF新课标第一网----免费课件、教案、试题下载