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1、实验2差分方程和数值微分题目3某湖泊每天有的河水流入，河水中污物浓度为，经渠道排水后湖泊容积保持不变，现测定湖泊中污物浓度为，建立差分方程计算湖泊中1年内逐月（按30天计算）下降的污物浓度，问要多长时间才能达到环保要求的浓度？为了把这个时间缩短为一年，应将河水中污物浓度降低到多少？【模型及其求解】记湖泊总水量，每天流入湖泊的河水量，湖泊最初污物浓度，目前河流的污物浓度，假定外部环境没有任何其他的污染物进入湖泊，并且湖泊本身不会制造污染物，流入湖泊的河水的污物浓度不变，不考虑每天任意时刻河水与湖水的混合过程，另外，假定湖很大，河流入水口与湖泊出水口相距很远（
2、认为当天从湖泊流出的水的浓度是不变的），同时，湖水的总量任意时刻都保持不变（不会出现先蓄积再排出的现象）。基于以上假定，则第k天湖水的污物浓度只和第k-1天湖水的污物浓度及流过的河水污物浓度有关，可以得到如下关系式：记，，则：代入题目中给定的数据，在MATLAB中计算。源程序为：%第二章第3题源程序clearallV0=200*10^4;%参数初始值设定Vin=10^4;K=0;pr0=0.02;x0=0.2;a=(V0-Vin)/V0;P=[00.010.020.040.060.080.10.140.160.20.24]%河水不同的污物浓度forj=1:
3、11pr=P(j);b=Vin*pr/V0;x(1)=x0;x(2)=a*x(1)+b;fork=2:720x(k)=a*x(k-1)+b;%差分关系式C(j,k)=x(k);%湖水污物浓度变化矩阵endC(j,1)=x0;if(j==3)%题目给出的河水污染物浓度下的情况m=1:12;B(m+1)=x(30*m);B(1)=x0;endendfigure,plot(0:12,B,'b*',0:12,B,'r-');%一年内按月份污物浓度变化(pr=0.02)title('图1.一年内湖泊污染物浓度(按月)')xlabel('月份')ylabel('污物浓
4、度(g/m^{3})')gtext('pr=0.02');figure,plot(1:720,C(1,:),'m',1:720,C(2,:),'b',...%pr取不同值污染浓度曲线比较1:720,C(3,:),'y',1:720,C(4,:),'r',1:720,C(5,:),'g',...1:720,C(6,:),'c',1:720,C(7,:),'k',1:720,C(8,:),'m',...1:720,C(9,:),'g',1:720,C(10,:),'r',1:720,C(11,:),'k'),...axis([072000.25]);title
5、('图2.河水污物浓度不同时湖泊污染物浓度变化情况(按天)');xlabel('天')ylabel('污物浓度(g/m^{3})'),gtext('pr=0');gtext('pr=0.01');gtext('pr=0.02');gtext('pr=0.04');gtext('pr=0.06');gtext('pr=0.08');gtext('pr=0.1');gtext('pr=0.14');gtext('pr=0.16');gtext('pr=0.2');gtext('pr=0.21');a=0.9950;k=360;xk=0.04;x1=0.2;%如
6、果一年内污染物浓度达要求求解prXb=(1-a)*(xk-x1*a^(k-1))/(1-a^(k-1));prX=b*V0/Vin;问题解决uStep1：首先，得到一年内1～12月份的湖水污物浓度数据，如表1。表1.一年内湖水污物浓度（月份）（浓度单位：g/m3）MATLAB绘制出曲线如图1：由此曲线可以清楚地看到湖水的污染物浓度不断降低，但是一年时间仍然不能使得湖水污物浓度达到环保要求。利用Matlab进一步计算可以得到如表2所示结果：表2.河水污物浓度0.02g/m3时，湖水污物浓度达标时间（浓度单位：g/m3）湖泊污物浓度将在第439天达到uStep
7、2：由差分方程逐步递推得到关系式：从而得到b的表达式：按照题目要求，如果要求把湖水污染物浓度降低到环保标准（即）所用时间减少到一年，则可以通过上式求出。参数为=0.9950，k=360（1年），，代入式中，求得：再由关系式：计算得到：，也就是说当河水的污染物浓度为时，按照模型计算，可以在一年时间使得湖水达到环保要求。【结果分析与讨论】在建立本题目的模型过程中，首先作了一些假定，归结起来主要有：1．外部环境没有任何其他的污染物进入湖泊，并且湖泊本身不会制造污染物；2．流入湖泊的河水的污物浓度不变；3．不考虑每天任意时刻河水与湖水的混合过程；4．假定湖很大，河
8、流入水口与湖泊出水口相距很远（认为当天从湖泊流出的水的浓度是不变的
