耀眼十七角星

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1、耀眼的十七角星葉清煌大多數的同學認識數學王子—高斯(GAUSS.德國數學家西元1777~1855)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據說高斯在幼年時，老師出了一道複雜的計算題，即「求由1到100所有整數和」，但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出他的正確答案為〝5050〞。使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩。更進而賣力地幫助高斯，直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。高斯的家境貧窮，到14歲時才得到布朗斯韋克公爵全力資助（從1791年開始）。可是經濟方面的考慮值得正視。因此高斯曾徘徊在十字路口，對於

2、終生事業不知何去何從。1796年3月30日是一個關鍵時候，當年高斯才18歲，他發現了如何從〝歐氏工具〞，也就是以圓規及直尺，作十七邊形的圖。這個發現使高斯在數學家中一炮而紅，也因這事件使高斯決定獻身數學。大數學家Klein稱讚高斯如下：〝顯在我們面前的是一幅緊張和奇趣的活人劇，你看那十十八世紀的大數學家，就像一連串起伏的高山終止於動人的高峰GAUSS，越過此高峰是一片大且肥沃的田園，充滿了生命的欣欣向榮。〞若非發現正十七邊形的尺規作圖而致使高斯迫於經濟壓力，改變志趣，可想像得到今天的世界局面會倒退多

3、少。可曾想過在你墓碑上留下什麼嗎？高斯對此成就是那麼自豪與高興，因而告訴他的友人說，他的墓碑上一定要刻上正17邊形，可惜並沒有如願以償，高斯的紀念碑上刻著一顆十七個角的星星，原來是負責紀念碑的雕刻家認為正十七邊形和圓形太像了，大家一定分辨不出來。（雕刻家的話有道理嗎？太外行了）高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題，而且也知道在理論上，用圓規和直尺作圖，哪些正多邊形可以做到，哪些是不能做到。他的定理說：正n多邊形可以尺規作圖之充要條件是n可以寫成，其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是型如的質數，如

4、，，，，，法國數學家PirreFermat（費馬1601-1665）曾研究這些數並猜想所有型如的數皆為質數，這是不對的。Euler（尤拉1707~1783）發現含有因數641。1958年利用電子計算機發現能被10所整除。前者大得不能想像；如果有人用一公分寬的數目字把他寫成十進位，他能繞可見的宇宙無數次。至今除了、、、、外，我們還沒有找到任何新的費馬質數。如果正n邊形可以作圖，則正2n邊形自然也可以作圖。如果正s邊及正t邊形都可以作圖而且s，t互質，則正st邊形也可以作圖，理由如下：若正s（或t）邊形

5、可以作圖，也就是說我們可以把圓周s（或t）等分；設分點按逆時鐘方向順次各為。而且使與重合。因為s、t互質，我們由輾轉相除法可找到兩個正整數u，v，使得vs－ut＝1，即因圓弧佔了全圓周的，而佔了，所以由上面等式可知佔了全圓周的，亦即弦為內接正st邊形的一邊。由法國數學家Abraham-deMoivre（棣美弗）定理可知二項方程之根，也就是俗稱n次單位方根必為：，k＝0,1,2,…,n－1正n邊形之作圖在歐氏幾何的意義下，僅限於使用圓規和直尺，在這種限制下可以證明只能作出有理數、平方根，以及經由有限次

6、的有理運算（即加、減、乘、除之四則運算）或開方所得的數。因此，一般而言，三次方根不能以尺規作圖；這就是在希臘三大幾何不可解的問題中〝三等分一角〞及〝倍立方〞等兩問題不能解的原因（除特殊情形以外）。10由於二項方程式與分圓問題的相關連，我們知道只要能用有限多個有理數或平方根將表出，則可作正n邊形作圖，我們從單位圓著手，以尺規作出線段，過P作x軸之垂線交單位圓於B。即為正n邊形之一邊。從P點把解二項方程的問題，化為解一連串一次或二次方程的問題。當n＝3時，故得三根當n＝4時，故得四根為，，，10當n＝5

7、時，或＝0∵Z≠0∴＝0令所以故，，因此可由1與5的比例中項得出。由此我們易得長度為之線段即可作出正五邊形。高斯在他的研究結論說：〝在歐幾里得時代已經知道把一個圓分成三等分或五等分。令人吃驚的是在兩千年中沒有新東西來充實這些發現，幾何學家認為除了這些情況以及由這些情況導出的那些以外，使用圓規和直尺不能作正多邊形。〞希臘人早就會作正三及正五邊形，下一個費馬質數就是17，這更顯出正17邊形作圖的歷史意義，正17邊形的實際作圖想法如下：考慮圓分割方程式，10其中p為形如的質數令以表示之根，將1除外之p－1

8、個根（這裡）組成周期。高斯周期是根的和，其中後項是前項的g次方，而總和之末項的g次方形成第一項（因此才稱為周期）。指數g稱為質數p的原根，g為整數，除以p得餘數1。換言之，g使得（1）的根可以用下列形式表示：周期是事實上下一個周期只包含項，即在這個周期裡，後項總是前項的次方，而且，也是p的一個原根。依此設高斯解圓分割方程式的辦法是把（1）簡化成二次方程式組的鏈。第一組包括一個二次方程式，第二組兩個，第三組四個，第四組八個，…等，最後一組包括a個二次方程式。第一組的各根