动点轨迹方程的求法

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1、动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时.例1(1994年全国)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:,动点M到圆C的切线长与的比等于常数(如图),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.解:设M(x,y),直线MN切圆C于N,则有,即,.整理得,这就是动点M的轨迹方程.若,方程化为,它表示过点和x轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,为半径的圆.二、代入法若动点M(x,y)依赖已知曲线上的动点N而运动,则

2、可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况.例2(1986年全国)已知抛物线,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线.解:设,由题设,P分线段AB的比,∴解得.又点B在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线.三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一

3、般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现.例3(1986年广东)若动圆与圆外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是(A)(B)(C)(D)解:如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M到定圆圆心(-2,0)的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以(-2,0)为焦点,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,顶点是(1,0),开口向左,所以方程是.选(B).例4(1993年全国)一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆解:如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有动点M到

4、两定点的距离之差为1,由双曲线定义知,其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支,选(C).四、参数法若动点P(x,y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x、y关于另一变量的参数方程,再化为普通方程.例5(1994年上海)设椭圆中心为原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴的长度之比为t.(A)求椭圆的方程;(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,点P在该直线上,且,当t变化时,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.解:(1)设所求椭圆方程为由题意得解得所以椭圆方程为

5、.(2)设点解方程组得由和得其中t>1.消去t,得点P轨迹方程为和.其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分.五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.例6(1985年全国)已知两点以及一条直线:y=x,设长为的线段AB在直线上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程.解:PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设,则PA:QB:消去t,得当t=-2,或t=-1时,PA与QB的交点坐标也满足

6、上式,所以点M的轨迹方程是以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围.

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