多尺度法初识和应用

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1、多尺度法初识和应用摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。非线性问题的研宄非线性问题的"个性"很强，处理起來十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的"精品"，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是"凤毛麟角"。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同吋从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研宂多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程屮发现了"孤子"，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，

2、对一些类型的非线性方程给出了解法：另一方而，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统屮存在着对初值极为敏感的杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的山现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识,并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面來探讨非线性系统的行为。线性与非线性的意义"线性〃与〃非线性〃是两个数学名词。所谓〃线性〃是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出來，则是一条直线。巾线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性

3、系统屮，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从焭加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。"非线性〃是指两个量之间的关系不是"直线〃关系，在直角坐标系中呈一条曲线。最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性阑数关系描述的系统称为非线性系统。多尺度法的基本思想#+/(士0多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的，此后得到进一步的发展。上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为的方

4、程所控制的系统，设方程的解为Q=Qo=Qo+…将原点移至中心位置9=A)是合适的。于是有x~Q~Qq此时第一式可写成x+/(x+^o)=O假设/可以展为泰勒级数，则上式可写为Nx+^anxn=Q其中n=l而/(/?)表示关于自变量的/?阶导数，对于中心，/G/o)=o，而/w⑹〉0我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把％看成是f和打，…，的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。Tn=e"t(n=0,1,2,•••)即r()=tT{=etT2=£2t…因此关于f的导数变成丫关于的

5、偏导数的展开式，即d7；dAtdTx+-=D0+6-D,+•••=Dq+2fD()D丨+£*2(Df+2D()D9—然后代入方程进行求解，求出七，％2，％3，**«。这时，方程的解可写成：然后按照小参数法(摄动法)建立f的各阶方程，进而求出七，又2，七，•••多重尺度法的应用一、求解自治系统例1.4.1求Duffing方程(1.1.4)X+X=—£*x3(690=1)自由振动的二次近似解(用多尺度法)解：求二次近似解可选三个变量，设代入原方程，并用到式(1.4.3),可得到下列方程组+x0=0(1.4.4a)32x,_o3233^+X^~23^~X°dT022dTo

6、d7；dTodT2d”01(1.4.4b)(1.4.4c)设式(1.4.4a)的解为x0=A(T^T2)exp(zT0)+Aexp(-zT0)其中A是未知复函数，A是A的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把xQ代入式(1.4.4b)©qp(/7J)-A3exp(i3T0)+cc其中CC表示前面各项的共辄。为使xl,不出现永年项，必须2/-^-+3A2A=O(1.4.4d)又求得x,=—A3exp(/3T0)+cc8代入(1.4.4c)，并利用条件(1.4.4d),有32x2w+x221—3expOT0)-—A4/lexp(/3r0)--A5exp(5fT0)+cc

7、消除永年项2/dT28A3A2=0(1.4.4e)21X264A4Aexp(/3ro)-丄A5exp(5zT0)+64cc利用式(1.4.4d),(1.4.4e)求A(T1，T2)如下:由(1.4.4d)dT2由(1.4.4c)Uw2ar916=0dA利用式（1.4.3a）并注意到,就得到令⑽其中M是t的实函数’将之代入上式有实、虚部展开，8256积分得a—cIq■215(p=-£Cl18256£2aA为积分常数，所以A=-a0exp•,3?15o4.lkea+l(PoOZJO于是，原方程二阶近似解为6ZqCOS//H£*6Zq(1ECLq)COS3l/