相似矩阵定义及性质

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1、二.相似矩阵的定义及性质定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则1性质1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵与对角阵相似，则是的个特征值。2(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若与相似，则与相似。（为正整数）(5)(6)（为任意常数）(2)若与相似，则与相

2、似。（为正整数）(4)若与相似，而是一个多项式，则与相似。3（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：（1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。三.矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，使得为对角阵，就称为把方阵对角化。4定理1：阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。（2）可逆矩阵由的个线性无关的特征向量作列向量构成。(逆命题不成立)推论：若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。（与对角阵相似）注：（1）若则的主对角元素即为的特征值，矩阵的相似标准形。如果

3、不计的排列顺序，则唯一，称之为5例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得6得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为7得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。8得基础解系所以不能化为对角矩阵.当时，齐次线性方程组为9解：例2：设若能对角化，求出可逆矩阵使得为对角阵。问能否对角化？10得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为11得基础解系线性无关，可以对角化。令则有12注意：若令即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．则有13把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化

4、的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是相应的特征向量是求矩阵14解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得15162.求方阵的幂例4：设求解：可以对角化。齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:17齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:令求得即存在可逆矩阵,使得18193.求行列式例5：设是阶方阵，是的个特征值，计算解：方法1求的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。设的特征值是即的特征值是20方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，即存在

5、可逆矩阵,使得214.判断矩阵是否相似解：方法1的特征值为令3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。例6：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，设问矩阵能否与对角阵相似？22即存在可逆矩阵,使得方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵能与对角阵相似。23例7：设阶方阵有个互异的特征值，阶方阵与有相同的特征值。证明：与相似。证：设的n个互异的特征值为则存在可逆矩阵,使得24又也是矩阵的特征值，所以存在可逆矩阵,使得即即存在可逆矩阵,使得即与相似。25