保结构算法的研究

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1、摘要这篇硕士论文总结了我们在哈密尔顿系统保结构算法方面的一些研究工作。首先我们在经典哈密尔顿系统jet辛差分格式[8]的基础上，给出了一般哈密尔顿系统的jet辛差分格式的定义。并利用带有变系数辛矩阵的一般哈密尔顿系统中构造辛差分格式的生成函数法的思想，来建立由一般的反对称矩阵所确定的微分二形式与生成函数的关系，再利用哈密尔顿一雅可比方程来构造jet辛差分格式。另外我们还证明了[9】中的DEL(离散Euler—Lagrange方程)存在～个离散形式的几何结构，它沿着解是不变的，这个结构可以通过对离散的作用量函数求导得到。由此，

2、我们也就证明了此格式的jet辛性质。利用这个结构我们还证明了此DEL方程满足离散的动量守恒形式。关键词：哈密尔顿系统，辛算法，生成函数，jet辛，动量守恒AbstractInthispaperwefirstdefinethejetsymplecticdifferenceschemesoftheHamiltoniansystemsingeneralsymplecticstructurewithvariablecoefficientsandconsidertheconstructionofjetsymplecticdiffere

3、nceschemesforclassicalHamiltoniansystems．InthesecondpartweshowoneDELequationwhichWanghasgivedexistentthefundamentalgeometricstructuresaswellastheirpreservationalongsolutionsthatcanbeobtaineddirectlyfromthevariatonalprincipleInparticular，weprovethisdifferenceschemes

4、arejetsymplecticandusethisstructuretoproveNoether’stheoremKeywords：Hamiltoniansystemes，symplecticmethod，jetsymplectic，momentumpreservingII独创性声明X662974本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知．除了文中特别女E以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他教育机构的学位或证书使用

5、过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者豁氽锋平签字瞧哗卵弓旧学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据●库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。学位论文作者签名余辞平签字日期：瑚千年孑月3』日一名：妒阳导师签名：寸，R7口l碳／签字日期：≥加午年j碉；f日保结构

6、算法的研究第一章前言哈密尔顿系统开始是由Hamilton在1824年提出的，当时仅仅是为了给几何光学问题一个适当的数学描述。但是后来发现这种形式非常优美，并且具有很好的对称性，不仅如此，Hamilton于1834年成功地把它应用于一个完全不同的领域——解析动力系统。接下来Jacobi也作了非常重要的工作，他将其发展成经典力学中的一个完整的数学框架，并且指出了它可以通过Legendre变换与牛顿和拉格朗同力学等价起来。到此为止实际上己经建立了分析力学的初步框架。但是在后来的相当长一段时间里，哈密尔顿系统并没有引起数学界的足够重

7、视，其理论价值和应用价值没有被完全的认同。到了十九世纪九十年代，庞加莱首先建立了哈密尔顿系统的，L何框架，加上后来CaKan，Birkhoff,Weyl，Siegel等人在二十世纪所作的一系列工作，现在哈密尔顿系统的思想已经渗透到了力学的各个学科，如连续介质力学、量子力学等。Kolmogorov．Amold．Moser关于可积哈密尔顿系统在小扰动下的周期轨道的不变性的研究进一步触发了大家的兴趣，他们的研究让人们看到了哈密尔顿系统的重要性。接着，Keller．Maslov利用基于辛几何的WKB方法来研究波动方程，特别是薛定谔方

8、程的渐进问题，从而拓展了WKB方法在散焦的奇异情况下的应用范围。至此，到最近的几十年里，在纯数学和应用数学的各种领域里，人们对哈密尔顿系统的研究兴趣及其重要性的认识不断增加。目前哈密尔顿系统除了作为分析力学，几何光学的基础外，还与李群的酉表示(K训lov，Kostant)，伪微分算子(Hr