学案72 数系扩充与复数引入

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1、学案72　数系的扩充与复数的引入导学目标：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若____

2、____，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为

3、起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即

4、z

5、＝

6、a＋bi

7、＝____________.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；④除法：＝＝＝_____________________

8、___(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.自我检测1．(2011·山东)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于(　　)A．1＋iB．1－iC．2＋2iD．2－2i3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1等于(　　)A．－2iB．－i

9、C．iD．2i4．(2011·重庆)复数等于(　　)A．－－iB．－＋iC.－iD.＋i5．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.探究点一　复数的基本概念例1　设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.变式迁移1　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二　复数的四则运算例2　(2010·全国Ⅱ)复数2等于(　　)A

10、．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i变式迁移2　计算：(1)；(2)；(3).例3　(2011·唐山模拟)计算：＋2012＋.变式迁移3　(1)(2010·四川)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于(　　)A．－1B．1C．－iD．i(2)(2010·福建)i是虚数单位，()4等于(　　)A．iB．－iC．1D．－1(3)i是虚数单位，＋等于(　　)A．iB．－iC．1D．－1探究点三　复数的点坐标表示例4　如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)

11、求B点对应的复数．变式迁移4　(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________．2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：＝＝＋i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i