由数列的递推公式求通项公式

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1、由数列的递推公式求通项公式一 准备知识所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{an},an的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列.等差数列等比数列定义数列{an}的后一项与前一项的差an-an-1为常数d数列{an}的后一项与前一项的比为常数q(q≠0)专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+(n-1)dan=a1·qn-1前n项和Sn=Sn=数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是:an=Sn-Sn-1(n≥2).有些数列不是用通项公式给出,而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的,例如:an+1=2an

2、+3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公式.数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.二 例题精讲例1.(裂项求和)求Sn=.解:因为an==所以Sn==1-例2.(倒数法)已知数列{an}中,a1=,an+1=,求{an}的通项公式.解:∴是以为首项,公差为2的等差数列,即+2(n-1)=∴an=练习1.已知数列{an}中,a1=1,Sn=,求{an}的通项公式.解:∴是以1为首项,公差为2的等差数列.∴=1+2(n-1

3、)=2n-1,即Sn=.∴an=Sn-Sn-1==∴an=例3.(求和法,利用公式an=Sn-Sn-1,n≥2)已知正数数列{an}的前n项和Sn=,求{an}的通项公式.解:S1=a1=,所以a1=1.∵an=Sn-Sn-1∴2Sn=Sn-Sn-1+∴Sn+Sn-1=,即Sn2-Sn-12=1∴是以1为首项,公差为1的等差数列.∴Sn2=n,即Sn=∴an=Sn-Sn-1=-(n≥2)∴an=-.例4.(叠加法)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3×(-)n-1(n≥3),且S1=1,S2=-,求{an}的通项公式.解:先考虑偶数项有:S2n-

4、S2n-2=-3·S2n-2-S2n-4=-3·……S4-S2=-3·将以上各式叠加得S2n-S2=-3×,所以S2n=-2+.再考虑奇数项有:S2n+1-S2n-1=3·S2n-1-S2n-3=3·……S3-S1=3·将以上各式叠加得S2n+1=2-.所以a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×,a2n=S2n-S2n-1=-4+3×.综上所述an=,即an=(-1)n-1·.例5.(an+1=pan+r类型数列)在数列{an}中,an+1=2an-3,a1=5,求{an}的通项公式.解:∵an+1-3=2(an-3)∴{an-3}是以2为首项,公比为2的等比

5、数列.∴an-3=2n∴an=2n+3.练习2.在数列{an}中,a1=2,且an+1=,求{an}的通项公式.解:an+12=an2+∴an+12-1=(an2-1)∴{an+12-1}是以3为首项,公比为的等差数列.∴an+12-1=3×,即an=例6(an+1=pan+f(n)类型)已知数列{an}中,a1=1,且an=an-1+3n-1,求{an}的通项公式.解:(待定系数法)设an+p·3n=an-1+p·3n-1则an=an-1-2p·3n-1,与an=an-1+3n-1比较可知p=-.所以是常数列,且a1-=-.所以=-,即an=.练习3.已知数列

6、{an}满足Sn+an=2n+1,其中Sn是{an}的前n项和,求{an}的通项公式.解:∵an=Sn-Sn-1∴Sn+Sn-Sn-1=2n+1∴2Sn=Sn-1+2n+1(待定系数法)设2(Sn+pn+q)=Sn-1+p(n-1)+q化简得:-pn-p-q=2n+1,所以,即∴2(Sn-2n+1)=Sn-2(n-1)+1,又∵S1+a1=2+1=3,∴S1=,S1-2+1=∴{Sn-2n+1}是以为公比,以为首项的等比数列.∴Sn-2n+1=,即Sn=+2n-1,an=2n+1-Sn=2-.例7.(an+1=panr型)(2005年江西高考题)已知数列{an}

7、各项为正数,且满足a1=1,an+1=.(1)求证:an0,所以log2(2-an+1)=log2(2-an)2=2·log2(2-an)-1∴log2(2-an+1)-1=2[log2(2-an)-1]即{log2(2-an)-1}是以―1为首项,公比为2的等比数列∴log2(2-an)-1=-1×2n-1化简得an=2-.练习4.(2006年广州二模)已知函数().在数列中,,(),

8、求数列的通项公式.解:,

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