北京市西城区2007-2008学年度第一学期抽样测试高三数学（理科）

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1、北京市西城区2007-2008学年度第一学期抽样测试高三数学（理科）2008.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么集合等于（）A.B.C.D.2.已知，且，那么的值等于（）A.B.C.D.3.平面平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线B.存在一个平面C.存在一个平面D.存在一条直线4.设函数若，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A.1B.2C.3D.46.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一

2、个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A.40种B.30种C.20种D.10种7.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于、两点.设第12页共12页为坐标原点，则等于（）A.B.C.或D.8.某水库建有10个泄洪闸.现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加.为了防洪，需调节泄洪速度.假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线.根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（）A.4个B.5个C.6个D.7个二、

3、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.已知的展开式中共有5项，则_______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，那么双曲线的离心率为_____.11.在中，已知，，，则_________.12.已知点的坐标满足条件点为坐标原点，那么的最大值等于_______，最小值等于__________.13.已知点，，.设于，那么有，其中________.14.对于任意实数，，定义设函数，则函数的最大值是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

4、步骤.15.（本小题满分12分）第12页共12页已知函数的图象经过点.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，且，求的值.16.（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到的距离；（Ⅲ）求二面角的大小.18.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）写出的单调区间；（Ⅱ）解不等式；（Ⅲ）设，求在上的最大值.19.（本小题满分1

5、4分）第12页共12页设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点作互相垂直的直线，分别交曲线于和.求四边形面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数列中，，，（Ⅰ）若对于，均有成立，求的值；（Ⅱ）若对于，均有成立，求的取值范围；（Ⅲ）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明：①；②当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.第12页共12页北京市西城区2007-2008学年度第一学期抽样测试高三数学（理科）参考答案2008.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.B8.C二、填空

6、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.11.12.；13.14.1注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：.…………..3分依题意得，即，解得.…………..6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得依题意得.…………..9分因为所以，所以解得…………..12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记“甲投球1次命中”为事件，“乙投球1次命中”为事件.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是第12页共12页.…………..6分（Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为，…………..9分两

7、人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为…………..12分17.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：连结，设与的交点为，连结.是的中点，是的中点，…………..3分…………..4分（Ⅱ）解：设点到的距离为在三棱锥中，，且.…………..6分易求得即点到的距离是…………..9分第12页共12页（Ⅲ）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角.…………..12分易求得，在中