边界元法在断裂力学中的研究综述

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1、边界元法在断裂力学中的研究综述：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。　　关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法　　　　引言　　在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.　　边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1

2、]。边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。另外，计算误差只于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。　　本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。　　1．边界

3、元法在断裂力学中研究现状　　断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（SIF）。应力强度因子(SIF)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。　　用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。　　要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些

4、关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。目前的解决方法有两种:直接法和特殊单元法。　　1.1直接法　　直接法可以利用常规边界元程序，通过在裂纹尖端附近区域细分单元，然后用位移(或应力)外推法得到应力强度因子。但此法要求密布单元，不太经济。汪冬华，龚朴，谭运猛[3]由位移边界积分方程和面力边界积分方程,推导出对偶边界积分方程在一般裂纹问题中的具体表达式。利用对偶边界元法,计算了含裂纹构件的应力强度因子。孙雁，韩震,刘正兴[4]将裂纹应力计算问题导向哈密顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应

5、力奇性解的计算公式。结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的奇点分析单元。将此分析单元与有限元法相结合,可以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析。RobertoBrighenti[5]应用无X格的边界元法(EFG)研究弹性断裂问题的三维问题。余会琴,陈梦成[6]建立以裂纹表面位移为未知函数的超奇异积分方程,利用有限部积分原理和边界元法来求解该方程.运用该方法计算出矩形裂纹的I型应力强度因子。B.Aour,O.Rahmani,M.Nait-Abdelaziz[7]利用边界元和有限元的各自优点，把它们耦合起来能在更少自由度更精确的

6、计算断裂力学中的裂纹问题的应力强度因子。　　1.2特殊单元法　　特殊单元法是在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，用特殊单元模拟裂尖位移场和应力场。特殊单元法较之直接法可以减少单元数目，提高计算效率。国内外许多断裂力学工提出了各种类型的特殊单元。比较有代表性的如:Barsoum.R.S提出的1/4节点奇异等参元；Tracey.D.M,ukherjee为首的研究小组提出的。Mukherjee的学生Lutz在研究奇异积分的计算进程中，发现Laplac问题和弹性力学问题的直接法边界积分方程中，当表示成矢量函数积分的形式时，被积矢量函数具有散度为零的特性，

7、基于这种特性，他提出了轮廓积分的概念。Nagarajan等将这一思想进一步发展应用于弹性力学问题，提出一种新型的边界元法，即边界轮廓法。它避免了以上提到的在奇异边界点上存在的困难,且在单元的边界上位移是连续的,但这种方法的形函数的形成非常麻烦[16]。　　2）角点问题　　在边界元法中处理弹性体角点处面力的多值性是一个困难的问题.若与某角点相连的所有单元的边界条件都为位移给定,则从边界积分方程离散得到的线性代数方程组不足以解决问题,还需要补充一组代数方程早期的边界元法中,剪应力张量的对称性(σij=σji),被当作可用的补充方程之一,但根据弹性

8、力学,剪应力张量的对称性仅在弹性体内部成立,在弹性体的边界上并不一定成立,正确的补充方程需从应力应变关系中寻找。　　3）连续性的问题　　由于边界积分中奇异积分的存在