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1、2017届数学补充材料每天都有好心情^_^椭圆题型总结一、焦点三角形1.设F1、F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过F2，求的面积的最大值。（法一）解：如图，设，，根据椭圆的定义，，，又，在ΔAF2F1和ΔBF2F1中应用余弦定理，得，∴，，∴令，所以，∴在上是增函数∴当，即时，，故的面积的最大值为．（法二）解：设AB：x=my+1，与椭圆2x2+3y2=6联立，消x得(2m2+3)y2+4my-4=0∵AB过椭圆内定点F2，∴Δ恒大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=48(m2+1)=
2、y1-y2
3、==令t=m2+1≥1，m2=t-1，则=，t
4、∈[1,+)f(t)=在t∈[1,+)上单调递增，且f(t)∈[9,+)∴t=1即m=0时，ΔABF1的面积的最大值为。注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。202017届数学补充材料每天都有好心情^_^2.如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：(1)求点P的轨迹方程；(2)若，求点P的坐标.解：(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，
5、长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为(2)由得①因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，②将①代入②，得故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为二、点差法定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.3.直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．202017届数学补充材料每天都有好心情^_^解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x
6、2，y2)，则…………*∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∴，即。∴l的方程为，即2x+9y-20=0．（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得，又直线l经过点A(1，2)，∴，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，∴P1P2的中点的轨迹：。4.在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直
7、线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，＞0.解之得：＜或＞.的取值范围是.（2）在椭圆中，焦点在轴上，，202017届数学补充材料每天都有好心情^_^设弦PQ的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线.，从而由得：，由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.三、最值问题5.已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（m∈R），求PM的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值。解：设P(x,y)，PM====，x∈[-2,2]，结合相应的二次
8、函数图像可得（1）<-2，即m<时，(PM)min=
9、m+2
10、；（2）-2≤≤2,即≤m≤时，(PM)min=；（3）>2，即m>时，(PM)min=
11、m-2
12、.说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；6.在椭圆求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆
13、的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。202017届数学补充材料每天都有好心情^_^解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆相切，则，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,Δ=0,解得m=.当m=时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为=，此时点P的坐标是(,)；当m=-时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为=，此时点P的坐标是(,)。解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2)则P到直线l的距离为=∴当θ=时，P到直线l的距离最大，最大为此时点P的坐标是(,)；当θ=时，P到直线l的距离最小，最
14、小为，此时点P的坐标是(,)。说明：在上述解法一中体现了“数形结合
