三次函数专题(解析版).pdf

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1、三次函数专题一、定义：32定义1、形如yaxbxcxda(0)的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。22定义2、三次函数的导数y3ax2bxca(0)，把4b12ac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。32二、三次函数yaxbxcxda(0)图象与性质的探究：1、单调性。232一般地，①当4b12ac0时，三次函数yaxbxcxd(a0)在R上是单调函数；232②当4b12ac0时，三次

2、函数yaxbxcxd(a0)在R上有三个单调区间。2根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论，令fx()3ax2bxc0两根为xx,且xx，则：1212a0a0导函数0000图象xxxx1x2xx0x12x0x2、对称中心。32bb三次函数f(x)axbxcxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点(,f())，此点的横坐标3a3a是其导函数极值点的横坐标。32证明：函数f(x)axbxcxd(a0)关于点（m，n）对称的充要条件是f(mx)f(mx)2n，3232即：[a(mx)b(mx)c(m

3、x)d][a(mx)b(mx)c(mx)d]2n，整理得，232(6ma2b)x(2am2bm2mc2d)2n，据多项式恒等对应系数相等,可得，b32bm且nambmmcd=f(m)f()，3a3abb从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,f()).3a3a可见，yf(x)图象的对称中心在导函数yf(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点（拐点）。1由上又可得以下结论：yf(x)是可导函数，①若yf(x)的图象关于点(m,n)对称，则yf'(x)图象关于直线xm对称.②若yf(x)

4、图象关于直线xm对称，则yf'(x)图象关于点(m,0)对称.这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.3、三次方程根的个数问题（或三次函数的图象与x轴交点个数）。2（1）当△=4b12ac0时，由于不等式f(x)0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。yyOxxx0x0O2（2）当△=4b12ac0时，由于方程f(x)0有两个不同的实根x,x，不妨设xx，则：1212①若f(x)f(x)0，即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原12方程有且只有一个实根。yy

5、Oxxxx12Oxx12②若f(x)f(x)0，即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方12yy程有三个不等实根。x1x2xx1x2OOx③若f(x)f(x)0，即f(x)与f(x)中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。1212yyx1x2xOxOxx1224、奇偶性。32三次函数f(x)axbxcxd(a0)当且仅当bd0时是奇函数。5、极值点问题。若函数f(x)在点x的附近恒有f(x)f(x)(或f(x)f(x))，则称函数f(x)在点x处取得极大0000值（或极小值），称点x为极大值点

6、（或极小值点）。0当0时，三次函数yf(x)在，上的极值点有两个。当0时，三次函数yf(x)在，上不存在极值点。6、最值问题。32由函数f(x)axbxcxd(a0)的图像能够探究出在区间[m,n]的最大值与最小值：32函数f(x)axbxcxd(a0)，xm，n，若x0m，n，且f(x0)0，则：fmax(x)maxf(m)，f(x0)，f(n)；fmin(x)minf(m)，f(x0)，f(n)。8、三次函数切线问题。①在Px，y处的切线求法0032设点Px，y为三次函数f(x)a

7、xbxcxd(a0)图象上任一点，则在点P一定有直线与00yf(x)的图象相切，且只有一条。22kf(x)3ax2bxc，切线方程为：yy(3ax2bxc)(xx)0000000②过Px0，y0处的切线求法32设点Px0，y0为三次函数f(x)axbxcxd(a0)图象上任一点，则在点P一定有直线与yf(x)的图象相切。2过P点作yf(x)图象的切线，设切点为Qx1，y1，则切线的斜率kf(x1)3ax12bx1c，22切线方