高考专题研究------数列的通项

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1、《数列的通项》题型一累加法【答案】an＝lnn＋2探究1利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求型如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公式的基本方法，其中f(n)可求前n项和．(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.思考题1(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】累加法：由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)

2、＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.【答案】an＝22n－1题型二累乘法思考题2题型三〓换元法探究3通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．(1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an＝________.思考题3【答案】32n－1题型四待定系数法(构造新数列法)例4(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.【解析】原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即是：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－

3、4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.(3)在数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N*，an＋2＝5an＋1－6an，求通项公式an.【解析】an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有：a

4、n＝4·3n－1－5·2n－1.当λ＝－3时结果相同．【答案】(1)an＝2n＋1－3(2)an＝4·3n－1－5·2n－1(3)an＝4·3n－1－5·2n－1探究4构造法基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列．思考题3例5设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝4，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.求数列{an}的通项公式．题型五公式法(1)已知{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，则通项公式an＝________.思考题5【答案】4n－2感谢参与，敬请指导再见！