灵敏度分析.pdf

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1、§2－6灵敏度分析(SensitivityAnalysis)灵敏度分析的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。线性规划的灵敏度分析是在建立数学模型和求得最优解之后，针对数据资料变化而作的研究和分析。这种分析可以从两个方面来看：一是希望知道根据一定数据得到的最优结果，在数据变化到一定程度时，对最优解有什么影响。二是希望知道要使最优解保持不变，各个数据可以有多大幅度的变动。灵敏度分析的具体步骤如下:1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来：具体计算方法是，按下列公式计算出由参数abcij,,ij的变化而引起的最终单纯形表上有关数字的变化：*1−Δ=ΔbB

2、b（2.17）*1−Δ=ΔpBp（2.18）iim∗∗Δ−=()()czjjjΔ−−czji∑ayji（2.19）i=12.检查原问题是否仍为可行解;3.检查对偶问题是否仍为可行解；4.按表（表2-8）所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。表2-8原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解仍为问题的最优解可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引入人工变量，编制新的单纯形表重新计算下面分别就各个参数改变后的情形进行讨论。6-1分析cj的变化范围目标函数中系数cj的变化仅仅影响到检验数czj−j的变化，所以将c的

3、变化直接反映到最终单纯形表中，只可能出j现如表2-8中所示的两种情况。【例6】已知线性规划问题maxzxx=(2++λ)(3+λ)1122⎧221xx+≤212⎪⎪41x≤61⎨s.t.51x≤5⎪2⎪xx,0≥⎩12试分析λ和λ分别在什么范围变化，问题的最优解不变。12【解】当λ==λ0，上述线性规划问题的最终单纯形表12见表2-3，当λ=0时，将λ反映到该表中（见表2-9）21表2-92+λ30001x1x2x3x4x52+λ1x13101/20-1/50x400-214/543x301001/52111czjj−00−−1λ10−+λ1255111表中解为最优解的条件

4、是：−10−≤λ，−+≤λ0由此推11255导得−≤≤21λ时满足上述要求。1当λ=0时，在将λ反映到表2-3中，得表2-10.12表2-1023+λ2000xxxxx123452x13101/20-1/50x400-214/543+λx301001/52211czjj−0010−+λ25511为使表中解为最优解，应有−+≤λ20，推导得−≤≤∞1λ2.556-2分析bi的变化范围b的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.i由公式（2.17）—（2.19）看出b变化反映到最终单纯形表i上只引起基变量列数字变化.因此灵敏度分析的步骤为：（1）按公式（2.17）算出*Δb

5、，将其加到基变量列的数字上；（2）由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解，再按表2-8所列结论进行.【例7】线性规划问题max=2x+3x12221xx+≤+2λ1214x≤16+λ12s.t5x≤15+λ23x,x≥012分别分析λ,,λλ在什么范围内变化，问题的最优基不变.123【解】先分析λ的变化.由公式（2.17）有1⎡1⎤λ⎛⎞1/20−1/5⎛λ⎞⎢21⎥1*−1⎜⎟⎜⎟⎢⎥Δb=BbΔ=−214/50=⎢−2λ⎥⎜⎟⎜⎟1⎜⎟⎝⎠001/50⎜⎝⎟⎠⎢0⎥⎢⎥⎣⎦使问题最优基不变的条件是⎡⎤13+λ⎢⎥12**⎢⎥bb+Δ=⎢⎥42−λ≥01

6、⎢⎥3⎢⎥⎣⎦由此推得−≤≤62λ1⎡3⎤⎢⎥同理有4+λ≥0⎢2⎥⎢⎣3⎥⎦推得−4≤λ<∞.2⎡⎤13−λ⎢⎥35⎢⎥⎢⎥44+λ≥0⎢⎥35⎢⎥1⎢⎥3+λ3⎢⎥⎣⎦5推得−≤≤51λ536-3增加一个变量的分析增加一个变量在实际问题中反映为增加一种新的产品，分析步骤是：m(1)计算*σjjjj=−=−czc∑ayiji；i=1−1(2)计算PBP′=；jj(3)若σ≤0，只需将P′和σ的值直接反映到最终单纯jjj表中，原最优解不变；若σ>0，则按单纯形法继续迭代计算.j【例8】第一章例2中，若增加一个变量x，有6TcP==4,(2,4,5)，试分析问题最优解的变化.

7、66⎡⎤2⎢⎥【解】σ6=−4(1,0,1/5)4431⎢⎥=−=⎢⎥⎣⎦5⎛1/20−1/5⎞⎡⎤⎡⎤20−1⎜⎟⎢⎥⎢⎥PBP66′==⎜⎟−214/544⎢⎥⎢⎥=⎜⎟⎝001/551⎠⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥将其代人表2-3的表2-11.表2-11230004xxxxxx1234562x13101/20-1/500x400-214/5[4]43x301001/512cz−jj00-10-1/51由于σ>0，继续用单纯形法迭代得表2-12.6表2-12x1x2x3x4x5x62x13101/20-1/504x6100