最优化问题-寻找最优解.pdf

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1、第一章绪论1.1问题的提出人们在做任何一件事情（工作）时，总是希望在可能（现有）的条件下，从众多可能方案中选择一个方案，使事情（工作）的结果最能满足自己的心愿，或者说使结果的目标值与自己的期望值最为符合。这个方案就可以称为最优方案，而这个选择最优方案的行为或过程就是一个最优化的过程。正是人类活动中无数这种寻找最优方案的过程，形成了最优化与最优控制理论与方法产生的基础。例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。也就是

2、说，人们认识到了圆截面容器是各种截面容器中的最优容器。古代人类这种寻找最优方案的例子比比皆是，如北半球朝南的房屋冬暖夏凉可以获得最舒适的居住条件、农作物生长过程中在某些最佳时机灌溉可以显著增产，等等。人类进入现代社会以后，生产和社会活动的规模不断扩大，复杂性日益增加，这就意味着完成一项工作或进行一项活动可以选择的方案数量也急剧增加，从中寻找最优方案几乎已经是进行任何一件工作所必须面对的问题。例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射

3、过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支。采用现代数学工具，很多最优化问题，尤其是工程领域的最优化问题

4、都可以得到明确的描述。例1.1．飞行器软着陆问题考虑一人造外星探测飞行器在外星表面实行飞行器软着陆。为保证飞行器上仪器设备的安全，要求m0飞行器落在外星球表面时垂直速度为0。同时，h0为保证飞行器返回时有足够的燃料，要求在着陆过程中飞行器消耗的燃料最少。对这个最优化问题可以进行如下数学描述：外星球记飞行器质量m(t)，其中自重M1，燃料初图1-1.飞行器软着始重量M2，1飞行器高度h(t)，初始高度h0，飞行器垂直速度v(t)，初始速度v0，飞行器发动机推力u(t)，开始时间t0=0，外星球引力加速度gw。列出飞行器的运动方程，有h

5、(t)v(t)u(t)v(t)gwm(t)m(t)ku(t)初始状态为：h(0)=h0，v(0)=v0，m(0)=M1+M2=m0从初始状态出发，要求在某一终端时刻tf有：h(tf)=0v(tf)=0m(tf)≥M1在运动过程中，有0≤u(t)≤uM,其中uM为飞行器的最大推力。则该软着陆最优问题是要求在0≤t≤tf区间求满足上述运动方程和初、终态约束的u(t)，使目标函数J=m(tf)最大。例1.2．最小热损耗问题o如图1-2所示，一搅拌混合槽，原存放0C液体，要经过tf小时将其升温至ooTfC，同时保持液面恒定。送入

6、一定量温度为u(t)C的液o体，假定槽内混合均匀，出口温度为槽内温度x(t)C。槽内温度的变化由热力学定律有u(t)dxk[u(t)x(t)]dtx(t)其中k为常数，即温度变化与温差成正比。加热过程中热损耗与混合槽温度以及输入液体温度有图1-2.搅拌混合槽关，可以认为这里要求在初始条件x(0)=0，终值条件x(tf)=Tf条件下，求输入液体温度u(t)，使Tf22J[qx(t)ru(t)]dt0最小。例1.3．最大产值生产资源分配问题某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单

7、位A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。该问题可以用如下模型表示：假定生产xA单位A产品，xB单位B产品，则有约束条件：axbxCCACBaxbxEEAEBaxbxLLALB2xA≥0,xB≥0求满足约束条件的xA和xB，使产值（目标函数）f(x,x)PxPxABAABB最大。1.2最优化问题的提法上一节的三个例子虽然涉及不同的工程应用问题，但实质都是考虑最优方案的

8、求取问题。从中不难看出，最优化问题的数学描述或最优化问题的提法具有一定的必要形式或要素。三个例子前两个变量的变化与时间有关，考虑的是动态问题，而后一个则在一段时期内变量变化与时间无关，是静态问题，因此最优化问题的提法可以