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1、递推计数与对应计数一.对应计数法:要计算一个有限集的元素个数,若直接计算比较困难时,我们可设法寻找一个便于计算其元素个数的集合,并且建立一个到上的一一对应,于是由得到的元素个数,这种计数方法就是对应计数方法.运用这种方法的关键是寻找一个便于计算其元素个数的集合及如何在与建立一一对应.例1圆周上有个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于一点(端点除外),问,这些弦在圆内一共有多少个交点?解:圆周上任四点之间所连的弦中在圆内恰有一个交点,反之,圆内的任何一个交点,是由两条弦相交而得,这两条弦对应于圆周上四个点.这样交点与圆周上
2、的四点组之间构成了一个一一对应关系,所以共有个交点.例2正方体的12条棱,12条面对角线及4条体对角线,这28条线中,异面直线有几对?解:从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点组成一个四面体,在该四面体的棱所在直线中有3对异面直线;反之,每一对异面线段的四个顶点对应于正方体的4个不共面的顶点.从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点有种方法,所以异面直线的对数为.例3从的棋盘中,取出一个由三个方格组成的形,有多少种不同的取法?解:棋盘中的每一个内部点都对应于四个形,反之每一个形都对应于一个内部点.的棋盘共有个内部点,所以不同
3、的取法有种.例4从中,按从小到大的顺序选取四个数,使得,.问符合上述要求的不同取法有多少种?解:等价于去掉六个数,从中,按从小到大的顺序选取四个数共有多少种取法,有种方法.在此基础上取即可.例5从集合中取出6个不同的数,使得其中至少有两个相邻,不同的取法有几种?解:从集合中取出6个不同的数有种不同取法.若这些数互不相邻,则,即等价于从44个数中选6个不同的数,它们从小到大依次为,然后令,这样得到的6个数即满足条件,反之亦然.所以不同的取法有种.例6圆周上有个点,每两个点连一线段,假设任三条线段在圆内不共点,于是三条两两相交
4、的线段构成一个三角形,试求这些三角形的个数?解:设三角形的顶点有个在圆内,个在圆周上,这类三角形的全体为.则.对,有一内点为的顶点,内点为二条线段的交点,对应圆上四点,与交于点.即内点全体与圆周上四点组全体之间构成一个一一对应,而每个内点,又有四个中的与之对应,故.对,圆周上任取点中的点,对应中个;反之对每一个,延长的边与圆周交于个点,使此为点对应的个之一,故.对,则三内点确定三条线段交圆周个点,反之也对,故.综上,所以三角形总数为:.评析:一一映射与倍数映射是转化抽象的,复杂的计数问题的常用方法,但恰当的构造映射是解决问
5、题的关键.二.递推计数法:通过引入数列,建立递推关系来计数的方法称为递推计数法.运用递推方法计数的一般步骤是:(1)求初始值;(2)建立递推关系;(3)利用递推关系求解.例7由组成的长度为的数字串中,求没有两个0相邻的数字串的个数.解:设所求数字串的个数为,则长度为的数字串可以分为两类:(1)数字串中第一位不为0,则第一位为之一,而剩下的长度为的数字串中无两个0相邻的个数为,由分步计数原理,共有个;(2)数字串中第一位为0,则第二位为之一,而剩下的长度为的数字串中无两个0相邻的个数为,由分步计数原理,共有个;因此我们得到递
6、推关系式,它的特征方程为,特征根为,结合初始值,易得.例84个人互相传球,接球后即传给别人,首先由甲发球,并把它当作第一次传球.求经过次传球后,球又回到甲手中的传球方法数.解:设传球方法数为,则.由甲开始传球次,总传球数为,若经过次传球后,球又回到甲手中,则倒数第二次球在另外三个人手中,共有种传法,由此我们得到递推关系式,变形为,所以.例9有人要上楼,此人每步能向上走阶或阶,如果一层楼有阶,他上一层楼有多少种不同的走法?解(一):此人上楼最多走步,最少走步.这里用分别表示此人上楼走步,步,步,…,步时走法(对于任意前后两者
7、的步数,因后者少走步阶,而多走步阶,计后者少走步)的计数结果.考虑步子中的每步阶情形,易得,.综上,他上一层楼共有种不同的走法.解(二):设表示上阶的走法的计数结果.显然,.对于起步只有两种不同走法:上阶或上阶.因此对于,第步上阶的情形,还剩阶,计种不同的走法；对于第步上阶的情形,还剩阶,计种不同的走法.总计.一般地,对于,第一步走1阶,剩下的阶有种不同的走法;第一步走2阶,剩下的步有种不同的走法.所以得到递推关系.依次递推得到:.例10求位十进制数中出现偶数个的数的个数.解:设为位十进制数中出现偶数个的数的个数,为位十进
8、制数中出现奇数个的数的个数.则有,且.从而,利用特征根法,∴.
