如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于a、b两点，过a、b两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．

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1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．　　如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．　　（1）求抛物线的解析式．　　（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．　　（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．　　【解析】　　（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，　　∴A（﹣4，

2、0），B（0，4）。　　∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，　　∴，解得：。　　∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4。　　（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m。　　∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。　　∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为（m，8+m）。　　∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2。　　∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6。　　∴S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+

3、（6+4）×2﹣×2×4=12。　　（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），　　则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）。　　∵△ACD为等腰直角三角形，若△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。　　i）若∠BED=90°，则BE=DE，　　∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E（m，4）。　　∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，　　∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3。∴D（﹣3，1）。　　ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，　　在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m

4、，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E（m，4﹣m）。　　∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，　　∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2。　　∴D（﹣2，2）。　　综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）。