函数的奇偶性及周期性

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1、第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)

2、的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.课前检测1.下列函数为偶函数的是(  )A.y=sinx        B.y=x3C.y=exD.y=ln解析:选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y=sinx为奇函数.幂函数y=x3也为奇函数.指数函数y=ex为非奇非偶函数.令f(x)=ln,得f(-x)=ln=ln=f(x).所以y=ln为偶函数.2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(  )A.-B.C.D.-解析:选B

3、 ∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为(  )A.-1B.0C.1D.2解析:选B ∵f(x)为奇函数且f(x+4)=f(x),∴f(0)=0,T=4.∴f(8)=f(0)=0.4.若函数f(x)=x2-

4、x+a

5、为偶函数,则实数a=________.解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴

6、-x+a

7、=

8、x+

9、a

10、对于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0,对于x∈R恒成立,故a=0.法二:由f(-1)=f(1),得

11、a-1

12、=

13、a+1

14、,故a=0.答案:05.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.解析:观察可知,y=x3cosx为奇函数,且f(a)=a3cosa+1=11,故a3cosa=10.则f(-a)=-a3cosa+1=-10+1=-9.答案:-9 1.奇、偶函数的有关性质:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;(2)奇函数的图

15、象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.2.若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期.一、函数奇偶性的判断[例1] 设Q为有理数集,函数f(x)=g(x)=,则函数h(x)=f(x)·g(x)(  )

16、A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是偶函数也不是奇函数[自主解答] ∵当x∈Q时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当x∈∁RQ时,-x∈∁RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.综上,对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数.∵g(-x)===-=-g(x),∴函数g(x)为奇函数.∴h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·[-g(x)]=-f(x)g(x)=-h(x),∴函数h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.∴h(1)

17、=f(1)·g(1)=,h(-1)=f(-1)·g(-1)=1×=,h(-1)≠h(1),∴函数h(x)不是偶函数.[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;(2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例).[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关

18、系时,才能判断其奇偶性.以题试法1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+;(2)f(x)=3x-3-x;(3)f(x)=;(4)f(x)=解:(1)∵由得x=±1,∴f(x)的定义域为{-1,1}.又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)∵f(x)的定义域为R,∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(3)∵由得-2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的

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